\( f(x) = x^2 - 3x \); \( -6 \leq x \leq 6 \) ফাংশনটির রেঞ্জ কত?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রদত্ত ফাংশন হলো: \[ f(x) = x^2 - 3x, \quad -6 \leq x \leq 6 \] প্রথমে, আমরা ফাংশনের গ্রাফের গাণিতিক বৈশিষ্ট্য বিশ্লেষণ করবো। এটি একটি দ্বিঃসম পলিনোম, যেখানে মূলত এটি একটি উর্বরতা পলিনোম (quadratic form)। প্রথম, ফাংশনের ডেরিভেটিভ নির্ণয় করি: \[ f'(x) = 2x - 3 \] এখন, ডেরিভেটিভকে শূন্যের সমাধান করি: \[ 2x - 3 = 0 \implies x = \frac{3}{2} \] যেহেতু \(x = \frac{3}{2}\) এর মধ্যে রয়েছে \(-6 \leq x \leq 6\), এটি একটি অভ্যন্তরীণ সীমানা বিন্দু যেখানে ফাংশনের গুণাঙ্কের সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মান থাকতে পারে। এখন, মূল বিন্দুতে ফাংশনের মান নির্ণয় করি: \[ f\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 3 \times \frac{3}{2} = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} = \frac{9}{4} - \frac{18}{4} = -\frac{9}{4} \] এখন, সীমার প্রান্ত বিন্দুগুলিতে মান নির্ণয় করি: প্রান্তে \(x = -6\): \[ f(-6) = (-6)^2 - 3 \times (-6) = 36 + 18 = 54 \] প্রান্তে \(x = 6\): \[ f(6) = 6^2 - 3 \times 6 = 36 - 18 = 18 \] এখন, ফাংশনের সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন মান নির্ণয় করি: - সর্বোচ্চ মান: \(f(-6) = 54\) - সর্বনিম্ন মান: \(f\left(\frac{3}{2}\right) = -\frac{9}{4} = -2.25\) অতএব, ফাংশনের রেঞ্জ হবে: \[ -2.25 \leq y \leq 54 \] উপসংহার: তাই, ফাংশনের রেঞ্জ হলো \(-\frac{9}{4} \leq y \leq 54\) **উত্তর:** ```html

রেঞ্জ: \( -\frac{9}{4} \leq y \leq 54 \)

```