A+B = π/2 হলে cos²​A - cos²​B = কত?​​​​​​

প্রশ্নঃ

যদি \(A + B = \frac{\pi}{2}\) হয়, তাহলে \( \cos^2 A - \cos^2 B \) এর মান কত?

সমাধানঃ

প্রথমে, আমাদের দেওয়া শর্ত অনুযায়ী:

\[A + B = \frac{\pi}{2}\]

অর্থাৎ,

\[B = \frac{\pi}{2} - A\]

এখন, আমাদের লক্ষ্য:

\[ \cos^2 A - \cos^2 B \]

প্রথমে, \(\cos^2 B\) এর মান নির্ণয় করি। যেহেতু, \(B = \frac{\pi}{2} - A\), তাই:

\[ \cos B = \cos \left( \frac{\pi}{2} - A \right) \]

প্রধান সূত্র অনুসারে:

\[ \cos \left( \frac{\pi}{2} - A \right) = \sin A \]

\[ \cos B = \sin A \]

\[ \cos^2 A - \cos^2 B = \cos^2 A - \sin^2 A \]

\[ \cos^2 A - \sin^2 A = \cos 2A \] (কারণ, \(\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A\) হয়)

\[ \cos^2 A - \cos^2 B = \cos 2A \] আমাদের লক্ষ্য হলো এই ফলাফলকে \(\sin (B - A)\) এর সাথে সম্পর্কিত করা। যেহেতু \(B = \frac{\pi}{2} - A\), তাহলে,

\[ B - A = \frac{\pi}{2} - A - A = \frac{\pi}{2} - 2A \] এবং,

\[ \sin (B - A) = \sin \left( \frac{\pi}{2} - 2A \right) \] প্রধান সূত্র অনুযায়ী:

\[ \sin \left( \frac{\pi}{2} - x \right) = \cos x \] অতএব,

\[ \sin (B - A) = \cos 2A \] অতএব, আমরা পাই:

\[ \boxed{\cos^2 A - \cos^2 B = \sin (B - A)} \] যা প্রশ্নে দেওয়া উত্তরটির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ।