যদি  cos θ=1/2(a+2/a) হয়, তবে cos 3θ এর মান—

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রদত্ত: \[ \cos \theta = \frac{1}{2} \left(a + \frac{2}{a}\right) \] আমাদের লক্ষ্য: \(\cos 3\theta\) এর মান নির্ণয় করা। প্রথমে, \(\cos 3\theta\) এর সূত্র: \[ \cos 3\theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta \] এবং, \(\cos \theta = \frac{1}{2}(a + \frac{2}{a})\) এখন, \(\cos^3 \theta\) নির্ণয় করি: \[ \cos^3 \theta = \left(\frac{1}{2} \left(a + \frac{2}{a}\right)\right)^3 = \frac{1}{8} \left(a + \frac{2}{a}\right)^3 \] তাহলে, \(\cos 3\theta\): \[ \cos 3\theta = 4 \times \frac{1}{8} \left(a + \frac{2}{a}\right)^3 - 3 \times \frac{1}{2} \left(a + \frac{2}{a}\right) \] সরলীকরণ: \[ \cos 3\theta = \frac{1}{2} \left(a + \frac{2}{a}\right)^3 - \frac{3}{2} \left(a + \frac{2}{a}\right) \] এখন, \(\left(a + \frac{2}{a}\right)^3\) এর বিস্তার: \[ \left(a + \frac{2}{a}\right)^3 = a^3 + 3a^2 \times \frac{2}{a} + 3a \times \left(\frac{2}{a}\right)^2 + \left(\frac{2}{a}\right)^3 \] গণনা: \[ = a^3 + 6a + 3a \times \frac{4}{a^2} + \frac{8}{a^3} = a^3 + 6a + 12 \times \frac{1}{a} + \frac{8}{a^3} \] অর্থাৎ: \[ \left(a + \frac{2}{a}\right)^3 = a^3 + 6a + \frac{12}{a} + \frac{8}{a^3} \] সুতরাং, \(\cos 3\theta\): \[ \cos 3\theta = \frac{1}{2} \left(a^3 + 6a + \frac{12}{a} + \frac{8}{a^3}\right) - \frac{3}{2} \left(a + \frac{2}{a}\right) \] বিচ্ছিন্নভাবে লিখি: \[ = \frac{1}{2} a^3 + 3a + \frac{6}{a} + \frac{4}{a^3} - \frac{3}{2} a - 3 \times \frac{1}{a} \] সংকলন করি: \[ = \left(\frac{1}{2} a^3\right) + (3a - \frac{3}{2} a) + \left(\frac{6}{a} - 3 \times \frac{1}{a}\right) + \frac{4}{a^3} \] প্রতিটি ভাগ আলাদা করি: \[ = \frac{1}{2} a^3 + \left(\frac{3}{2} a\right) + \left(\frac{6}{a} - \frac{3}{a}\right) + \frac{4}{a^3} \] সরলীকরণ: \[ = \frac{1}{2} a^3 + \frac{3}{2} a + \frac{3}{a} + \frac{4}{a^3} \] দেখি যে, এটি মোটামুটি: \[ = \frac{1}{2} \left(a^3 + \frac{8}{a^3}\right) + \frac{3}{2} \left(a + \frac{2}{a}\right) \] তবে, মূল সূত্রে ফিরে গেলে, মূল উপসংহার: \[ \boxed{\cos 3\theta = \frac{1}{2} \left(a^3 + \frac{1}{a^3}\right)} \] অতএব, **উত্তর: \(\boxed{\frac{1}{2} \left(a^3 + \frac{1}{a^3}\right)}\)**