x-3y-2=0 রেখার উপর অবস্থিত P বিন্দুটি (2, 3) এবং (6,-5) বিন্দু দুইটি হতে সমদূরবর্তী হলে,P বিন্দুর স্থানাঙ্ক কোনটি?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( x - 3y - 2 = 0 \) রেখার উপর অবস্থিত বিন্দু \( P(x, y) \) এবং বিন্দু \( A(2, 3) \) এবং \( B(6, -5) \) থেকে সমদূরবর্তী হলে, \( P \) এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো। সমাধান: প্রথমে, \( P(x, y) \) রেখার উপর অবস্থান করে, অর্থাৎ: \[ x - 3y - 2 = 0 \] এবং \( P \) থেকে \( A \) এবং \( B \) পর্যন্ত দূরত্ব সমান: \[ PA = PB \] দূরত্বের সূত্রানুযায়ী, \[ PA = \sqrt{(x - 2)^2 + (y - 3)^2} \] \[ PB = \sqrt{(x - 6)^2 + (y + 5)^2} \] সমান হলে, \[ \sqrt{(x - 2)^2 + (y - 3)^2} = \sqrt{(x - 6)^2 + (y + 5)^2} \] দুটি পক্ষের বর্গ করলে, \[ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = (x - 6)^2 + (y + 5)^2 \] এখন, সমীকরণটি সমাধান করি: \[ (x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) = (x^2 - 12x + 36) + (y^2 + 10y + 25) \] দুটি পাশের সমান অংশগুলো বিয়োগ করি: \[ x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 - x^2 + 12x - 36 - y^2 - 10y - 25 = 0 \] সরলীকরণ করি: \[ (-4x + 12x) + (-6y - 10y) + (4 + 9 - 36 - 25) = 0 \] \[ 8x - 16y + (13 - 61) = 0 \] \[ 8x - 16y - 48 = 0 \] এই সমীকরণকে সরল করলে: \[ x - 2y - 6 = 0 \] এখন, \( P(x, y) \) রেখার উপর, অর্থাৎ, \[ x - 3y - 2 = 0 \] এবং এই সমীকরণটি \( x - 2y - 6 = 0 \) এর সাথে সমাধান করি: দুটি সমীকরণ: \[ (1) \quad x - 3y = 2 \] \[ (2) \quad x - 2y = 6 \] উপরের সমীকরণ থেকে, \( x \) এর মান: \[ x = 3y + 2 \] এখন, এটিকে দ্বিতীয় সমীকরণে বসাই: \[ (3y + 2) - 2y = 6 \] \[ 3y + 2 - 2y = 6 \] \[ y + 2 = 6 \] \[ y = 4 \] এখন, \( y = 4 \) হলে, \( x \) এর মান: \[ x = 3(4) + 2 = 12 + 2 = 14 \] অতএব, পয়েন্ট \( P \) এর স্থানাঙ্ক হয়: \[ \boxed{(14, 4)} \] উত্তর: \(\boxed{(14, 4)}\)