x2+2ax+y2 = 0 বক্ররেখার কোন বিন্দুতে স্পর্শক x অক্ষের উপর লম্ব ?
(0, 0) এবং (-2a, 0)
দেওয়া বক্ররেখা:
\[ x^2 + 2ax + y^2 = 0 \]
প্রথমে, বক্ররেখাটি সমাধান করে দেখি।
বক্ররেখাটি পুনঃলিখিত হয়:
\[ x^2 + 2ax + y^2 = 0 \]
এখানে, \( x^2 + 2ax \) কে সম্পূর্ণ বর্গে রূপান্তর করি:
\[ x^2 + 2ax = (x + a)^2 - a^2 \]
অতএব, সমীকরণটি লিখা যায়:
\[ (x + a)^2 - a^2 + y^2 = 0 \]
অথবা,
\[ (x + a)^2 + y^2 = a^2 \]
এটি একটি বৃত্তের সমীকরণ, যার কেন্দ্র \((-a, 0)\) এবং রেডিয়াস \(a\)।
স্পর্শক x অক্ষের উপর লম্ব হলে, স্পর্শক রেখার ঢাল শূন্য হতে হবে।
স্পর্শক রেখার সমীকরণ পেতে, প্???থমে বক্ররেখার ডেরিভেটিভ গণনা করি।
সমীকরণ:
\[ x^2 + 2ax + y^2 = 0 \]
দ্বিতীয় পার্শ্ব থেকে ডেরিভেটিভ নেওয়া হলে:
\[ 2x + 2a + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \]
অর্থাৎ,
\[ 2x + 2a + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \]
এখানে,
\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{x + a}{y} \]
চাই, যেখানে স্পর্শক x অক্ষের উপর লম্ব।
চিহ্নিত করবো যেখানে স্পর্শক রেখার ঢাল \(\frac{dy}{dx}\) শূন্য।
অর্থাৎ,
\[ -\frac{x + a}{y} = \infty \]
যেহেতু, শুধুমাত্র তখনই ঢাল শূন্য হয় যখন, \(\frac{dy}{dx}\) অসীম বা অনির্দিষ্ট হয়, অর্থাৎ, যখন ডিনোমিনেটর \(y = 0\)।
সুতরাং, স্পর্শক x অক্ষের উপর লম্ব হবে যেখানে \( y = 0 \)।
এখন, এই অবস্থায় সমীকরণে রাখি:
\[ x^2 + 2ax + y^2 = 0 \]
যেহেতু, \( y = 0 \), তাই:
\[ x^2 + 2ax = 0 \]
অথবা,
\[ x(x + 2a) = 0 \]
অর্থাৎ,
\[ x = 0 \quad \text{অথবা} \quad x = -2a \]
সুতরাং, এই বিন্দুগুলি হল স্পর্শক x অক্ষের উপর লম্ব হবে।
বিন্দুগুলি হল:
\[ (0, 0) \quad \text{এবং} \quad (-2a, 0) \]