a এর কোন মানের জন্য \( y = ax + ax^2 \) বক্ররেখার মূলবিন্দুতে অংকিত স্পর্শক x-অক্ষের সাথে 60° কোণ উৎপন্ন করে?
JUSet-2উচ্চতর গণিত প্রথম পত্রঅন্তরীকরণঅন্তরকের সাহায্যে স্পর্শক ও অভিলম্ব (Topic Practice)JU - ⚡ অনলাইন প্রশ্নব্যাংক দেখুন 💥
সঠিক উত্তরঃ
A.
\( \sqrt{3} \)
Another Explanation (5): প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে \( y = ax + ax^2 \) এই বক্ররেখার মূলবিন্দুতে অংকিত স্পর্শক \( x \)-অক্ষের সাথে 60° কোণ উৎপন্ন করে। আমাদের লক্ষ্য হলো \( a \) এর মান নির্ণয় করা। চলুন ধাপে ধাপে সমাধান করি:
1. মূলবিন্দুতে স্পর্শকের অংকন:
মূলবিন্দুতে স্পর্শক \(\left(x_0, y_0\right)\) এবং স্পর্শকের ঢাল (slope) হলো \( m \).
2. মূলবিন্দুতে \( y \) এর মান:
\[
y_0 = a x_0 + a x_0^2
\]
3. মূলবিন্দুতে ডেরিভেটিভ (অর্থাৎ, ঢাল \( m \)):
\[
\frac{dy}{dx} = a + 2a x
\]
অত:
\[
m = a + 2a x_0 = a(1 + 2 x_0)
\]
4. স্পর্শক \( \theta = 60^\circ \) কোণে উৎপন্ন:
\[
m = \tan 60^\circ = \sqrt{3}
\]
অর্থাৎ,
\[
a(1 + 2 x_0) = \sqrt{3}
\]
এখানে, \( x_0 \) এর মান:
\[
x_0 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2a}
\]
5. মূলবিন্দুতে স্পর্শকের স্থান:
\[
y_0 = a x_0 + a x_0^2
\]
এবং, স্পর্শক রেখার সমীকরণ হলো:
\[
y - y_0 = m (x - x_0)
\]
6. যেহেতু স্পর্শক অংকিত হয় মূলবিন্দুতে, অতএব, \( y \) এর মান:
\[
y = y_0 + m (x - x_0)
\]
7. মূলবিন্দুতে স্পর্শক হয়েছে, অতএব, এই রেখার সমীকরণ বক্ররেখার নির্দিষ্ট পয়েন্টে স্পর্শক। তবে এখানে, মূলবিন্দুতে স্পর্শক অংকিত হয়, অর্থাৎ, মূলবিন্দুতে রেখা ও বক্ররেখার টাচ পয়েন্ট এক।
8. মূলবিন্দুতে \( y \) এর মান:
\[
y_0 = a x_0 + a x_0^2
\]
এবং,
\[
y_0 = \text{বক্ররেখার মূলবিন্দুতে } y = y_0
\]
9. মূলবিন্দুতে স্পর্শক ও বক্ররেখার টাচ পয়েন্ট একই হওয়ায়, মূলবিন্দুতে \( y \) এর মান:
\[
y_0 = a x_0 + a x_0^2
\]
এবং,
\[
\text{স্পর্শক রেখার } y \text{ মান: } y = y_0
\]
10. মূলবিন্দুতে স্পর্শক ও বক্ররেখার সমীকরণের জন্য, স্পর্শকের ঢাল \( m = \sqrt{3} \):
এখানে, \( x_0 \) ও \( y_0 \) এর মধ্যে সম্পর্ক:
\[
y_0 = a x_0 + a x_0^2
\]
আরো,
\[
\text{স্পর্শক সমীকরণ: } y = y_0 + \sqrt{3}(x - x_0)
\]
11. মূলবিন্দুতে এই রেখাটি বক্ররেখার টাচ পয়েন্ট, তাই, বক্ররেখার ডেরিভেটিভ \( \frac{dy}{dx} \) এর মান একই হওয়া উচিত:
\[
a + 2a x_0 = \sqrt{3}
\]
অর্থাৎ,
\[
a (1 + 2 x_0) = \sqrt{3}
\]
আমরা জানি,
\[
x_0 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2a}
\]
সুতরাং,
\[
1 + 2 x_0 = 1 + 2 \left( -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2a} \right) = 1 - 1 + \frac{\sqrt{3}}{a} = \frac{\sqrt{3}}{a}
\]
এখন, মূলবিন্দুতে ডেরিভেটিভের সমীকরণে,
\[
a \times \frac{\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3}
\]
অথবা,
\[
\sqrt{3} = \sqrt{3}
\]
এখানে, \( a \) এর মান নির্ণয় করতে হবে। উপরের সমীকরণ অনুযায়ী, এই সম্পর্কটি সত্য যখন:
\[
a > 0 \quad \text{এবং} \quad a = \sqrt{3}
\]
অতএব,
উত্তর: \( \boxed{\sqrt{3}} \)