x²=4(1-y) পরাবৃত্তটির নিয়ামক রেখার সমীকরণ কোনটি? 

Another Explanation (5):

প্রশ্নের সমাধান

প্রশ্ন: \( x^2 = 4(1 - y) \) পরাবৃত্তটির নিয়ামক রেখার সমীকরণ কোনটি?

প্রথম ধাপ: পরাবৃত্তটির কেন্দ্র ও অর্ধবৃত্তের রূপ নির্ণয়

প্রদত্ত সমীকরণ: \[ x^2 = 4(1 - y) \] এটি একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ। এটি স্ট্যান্ডার্ড রূপে লিখলে: \[ x^2 = 4(1 - y) \Rightarrow x^2 = 4 - 4y \] অথবা, \[ x^2 + 4y = 4 \] এটি একটি পরাবৃত্তের সাধারণ রূপ।

দ্বিতীয় ধাপ: পরাবৃত্তের কেন্দ্র নির্ণয়

উপরের সমীকরণকে পুনর্বিন্যাস করি: \[ x^2 = -4y + 4 \] এখানে, \( y \)-এর সাথে \( x^2 \) সম্পর্কের কারণে, এটি একটি উল্লম্ব পরাবৃত্ত (vertical parabola বা অন্য কিছু নয়) নয়, বরং একটি পরাবৃত্ত। অন্যভাবে, সমীকরণটিকে এই রূপে লিখতে পারি: \[ x^2 = -4(y - 1) \] এখানে, এটি একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ যার: \[ x^2 = 4p(y - k) \] রূপে, যেখানে কেন্দ্র \((h, k)\), এবং এই ক্ষেত্রে: \[ x^2 = 4p(y - 1) \] সুতরাং, কেন্দ্র \((0, 1)\), এবং এই রূপে: \[ x^2 = 4p(y - 1) \] এখানে, \(4p = -4 \Rightarrow p = -1\) এখন, এই পরাবৃত্তের কেন্দ্র \((0,1)\) এবং এর নির্দেশিকা (directrix) হবে: \[ \text{Directrix: } y = k - p = 1 - (-1) = 2 \] এবং পরাবৃত্তের মুখ (focus): \[ \text{Focus: } (0, 1 + p) = (0, 1 -1) = (0, 0) \]

তৃতীয় ধাপ: নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয়

নিয়ামক রেখা (director line) সেই রেখা যা পরাবৃত্তের কেন্দ্র থেকে সরাসরি যায়। সাধারণত, নিয়ামক রেখার সমীকরণ হলো: \[ y = \text{constant} \] এবং এই ক্ষেত্রে, কেন্দ্রে সরাসরি রেখার সমীকরণ হলো: \[ \text{Directrix: } y = 2 \] অতএব, নিয়ামক রেখার সমীকরণ হলো: \[ \boxed{y=2} \]

উত্তর:

নিয়ামক রেখার সমীকরণ হলো y = 2.