যদি (x-ai) এবং (-b+iy) পরস্পর অনুবন্ধী হয়, x ও y এর মান নিচের কোনটি ? 

সমাধান:

প্রশ্ন অনুযায়ী, যদি \( (x - ai) \) এবং \( (-b + iy) \) পরস্পর অনুবন্ধী হয়, তাহলে তাদের মধ্যে সমানুপাত বা অনুবন্ধীতা (proportionality) থাকবে।

অর্থাৎ, যদি এই দুটি ভেক্টর বা জ্যামিতিক রূপে বলা হয় যে,

\[ (x - ai) \parallel (-b + iy) \]

তাহলে, তাদের উপাদানসমূহের মধ্যে অনুপাত সমান হবে। অর্থাৎ,

\[ \frac{x - ai}{-b + iy} = \text{কোনো ধ্রুবক } k \]

এখন, উপাদান পর্যায়ক্রমে অনুপাত নির্ণয় করি।

প্রথমত, বাস্তব অংশের অনুপাত:

\[ \frac{x}{-b} = k \Rightarrow x = -b k \]

দ্বিতীয়ত, কাল্পনিক অংশের অনুপাত:

\[ \frac{-a}{i y} = k \Rightarrow \frac{-a}{i y} = k \]

তাহলে, প্রথম সমীকরণ থেকে:

\[ x = -b k \]

দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে:

\[ \frac{-a}{i y} = k \Rightarrow -a = k i y \Rightarrow k = \frac{-a}{i y} \]

এখন, \( k \) এর মান প্রথম সমীকণে বসিয়ে পাই:

\[ x = -b \times \frac{-a}{i y} \Rightarrow x = \frac{a b}{i y} \]

অতএব, এখন \( x \) এর মানের জন্য যথাযথ মান নির্ণয় করি। অন্যদিকে, লক্ষ করি যে, অনুবন্ধীতার জন্য দুই ভেক্টর সমানুপাতিক হলে, তাদের উপাদানসমূহের অনুপ??তের মানে অপ্রচলিত বা অসুবিধা হয় না।

সাধারণত, যদি \( (x - ai) \) এবং \( (-b + iy) \) পরস্পর অনুবন্ধী হয়, তাহলে তাদের উপাদানসমূহের অনুপাত সরাসরি সমান হবে। তার মানে,

\[ \frac{x}{-b} = \frac{-a}{i y} \]

এখন, এই সমীকরণ থেকে \( x \) ও \( y \) এর মান নির্ণয় করি:

\[
\frac{x}{-b} = \frac{-a}{i y}
\Rightarrow x \times i y = -b \times (-a)
\Rightarrow i x y = a b
\]

এখন, \( i \) কে বাদ দিতে, দুই পাশে গুণ করি \( -i \):

\[
(-i) \times i x y = (-i) \times a b
\Rightarrow (-i)(i) x y = -i a b
\Rightarrow (-i)(i) = -i^2 = -(-1) = 1
\Rightarrow x y = -i a b
\]

তবে, এখানে নির্দিষ্ট মানের জন্য, যদি \( x = -b \) এবং \( y = a \), তাহলে উপাদানসমূহের অনুপাত ঠিক হবে।

সুতরাং, সমাধান হলো:

x = -b, y = a