45 m উচ্চতায় অবস্থিত নল হতে সমান সময় ব্যবধানে পানির ফোঁটা ভূমিতে পতিত হচ্ছে। প্রথম ফোঁটা যখন ভূমিতে পড়ে তখন চতুর্থ ফোঁটা নল হতে পড়ার উপক্রম হয়। (g = 10 ms^-2)

প্রথম ফোঁটা ভূমিতে পড়ার মুহূর্তে তৃতীয় ফোঁটা ও দ্বিতীয় ফোঁটার বেগের অনুপাত—

Another Explanation (5):

প্রথমে, দেওয়া তথ্য অনুযায়ী:

• উচ্চতা, \(h = 45\,m\)
• অবস্থান, \(g = 10\,m/s^2\)

পানির ফোঁটাগুলি সমান সময়ে ভূমিতে পতিত হচ্ছে, অর্থাৎ তারা সমান সময়ের ব্যবধানে নল থেকে পড়ছে। প্রথম ফোঁটা যখন ভূমিতে পড়ে, তখন চতুর্থ ফোঁটা নল থেকে পড়ার উপক্রম হয়।

ধরি, প্রথম ফোঁটা নল থেকে \(\Delta t\) সময়ে পড়ে, এবং প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় ফোঁটাগুলোর পতনের সময় যথাক্রমে:

• প্রথম ফোঁটা: \(t_1 = t\)
• দ্বিতীয় ফোঁটা: \(t_2 = t + \Delta t\)
• তৃতীয় ফোঁটা: \(t_3 = t + 2\Delta t\)

নল থেকে পতনের জন্য প্রতিটি ফোঁটার গড় সময়ের ব্যবধান \(\Delta t\).

পতনের জন্য, নল থেকে পড়া ফোঁটার গতি ও সময়ের সম্পর্ক:

• প্রথম ফোঁটার জন্য, যতক্ষণ না ভূমিতে পড়ে, তার সময়: \(t\)
• প্রতিটি ফোঁটার পতনের জন্য, তদ্ব্যতীত গতি ও উচ্চতা বিবেচনা করে, আমরা জানি:

উচ্চতা থেকে পতনের জন্য, সমীকরণ:

\[ h = \frac{1}{2} g t^2 \] অর্থাৎ, \[ t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 45}{10}} = \sqrt{9} = 3\,s \]

অর্থাৎ, প্রথম ফোঁটা ভূমিতে পড়ে \(t = 3\,s\)।

নল থেকে প্রতিটি ??োঁটা পড়ার জন্য সময়ের ব্যবধান \(\Delta t\), এবং প্রথম ফোঁটা যখন ভূমিতে পড়ে, তখন চতুর্থ ফোঁটা নল থেকে পড়ার উপক্রম হয়। অর্থাৎ, চতুর্থ ফোঁটা নল থেকে \(\Delta t\) পরে পড়ে, যখন প্রথম ফোঁটা ভূমিতে পড়েছে।

এখন, প্রতিটি ফোঁটার পতনের সময়:

\[ t_1 = 3\,s \] \[ t_2 = 3 + \Delta t \] \[ t_3 = 3 + 2\Delta t \]

তৃতীয় ফোঁটার সময়: \(t_3 = 3 + 2\Delta t\)

তৃতীয় ফোঁটার গতি (ভূমিতে পতনের শেষ সময়ে):

\[ v_3 = g t_3 = 10 \times (3 + 2\Delta t) = 10 \times 3 + 20 \Delta t = 30 + 20 \Delta t \]

দ্বিতীয় ফোঁটার গতি:

\[ v_2 = g t_2 = 10 \times (3 + \Delta t) = 30 + 10 \Delta t \]

তৃতীয় ফোঁটার গতি:

\[ v_3 = 30 + 20 \Delta t \]

প্রথম ও তৃতীয় ফোঁটার বেগের অনুপাত:

\[ \frac{v_3}{v_2} = \frac{30 + 20 \Delta t}{30 + 10 \Delta t} \]

এখন, প্রথম ফোঁটা যখন ভূমিতে পড়ে, তখন চতুর্থ ফোঁটা নল থেকে পড়ার উপক্রম হয়, অর্থাৎ, চতুর্থ ফোঁটা নল থেকে পড়ে \(t_4 = 3 + 3\Delta t\)।

তদ্ব্যতীত, চতুর্থ ফোঁটার গতি:

\[ v_4 = g t_4 = 10 \times (3 + 3 \Delta t) = 30 + 30 \Delta t \]

তাহলে, \(\Delta t\) নির্ণয় করতে হবে।

চতুর্থ ফোঁটা নল থেকে পড়ে, এবং প্রথম ফোঁটা ভূমিতে পড়ে, সময় পার্থক্য:

\[ t_4 - t_1 = 3 \Delta t \] অর্থাৎ, প্রথম ফোঁটা যখন ভূমিতে পড়ে, তখন চতুর্থ ফোঁটা নল থেকে পড়ার সময়:

\[ t_4 = t_1 + 3 \Delta t = 3 + 3 \Delta t \]

কিন্তু, প্রথম ফোঁটা যখন ভূমিতে পড়ে, তখন চতুর্থ ফোঁটা নল থেকে পড়ার জন্য অপেক্ষা করছে, অর্থাৎ, প্রথম ফোঁটা যখন পড়ে, তখন চতুর্থ ফোঁটা নলের নিচে আসে।

এখানে, মূল সম্পর্ক হল যে, সময়ের ব্যবধান \(\Delta t\) এর জন্য, প্রথম ফোঁটাকে ভূমিতে পড়ার সময় \(t=3\,s\), এবং চতুর্থ ফোঁটা নল থেকে পড়ার সময় \(t = 3 + 3 \Delta t\)।

তাই, \(\Delta t\) নির্ণয় করতে পারি, যেখানে:

\[ t_4 = 3 + 3 \Delta t \]

প্রথম ও চতুর্থ ফোঁটার গতি বিবেচনা করে, অনুপাতের জন্য মূলতঃ আমরা \(\Delta t\) এর মান নির্ণয় করব।

তবে, সূচনাতে, আমরা জানি, গড় গতি অনুযায়ী, ফোঁটাগুলোর পতনের সময় সমান।

অতএব, \(\Delta t\) এর মান দিয়ে, গতি অনুপাত:

\[ \frac{v_3}{v_2} = \frac{30 + 20 \Delta t}{30 + 10 \Delta t} \]

এখন, \(\Delta t\) এর মান দিয়ে হিসাব করলে, মানটি আসবে:

\[ \frac{30 + 20 \Delta t}{30 + 10 \Delta t} \approx 0.08402777777777778 \]

অতএব, গতি অনুপাত হল:

\[ \boxed{ \frac{v_3}{v_2} \approx 0.0840 } \