(-2, 4) এবং (8, -10) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাকে 2:3 অনুপাতে বহির্বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক কোনটি?

সমাধান:

প্রদত্ত বিন্দুগুলি হল:
\( A(-2, 4) \) এবং \( B(8, -10) \)
এবং আমাদের জানতে চাওয়া হচ্ছে, এমন একটি বিন্দু \( P(x, y) \) যা \( A \) এবং \( B \)-কে 2:3 অনুপাতে বহির্ভিভক্তকারী।

সুতরাং, যদি \( P \) বিন্দুটি \( A \) এবং \( B \)-কে 2:3 অনুপাতে বহির্ভিভক্ত করে, তাহলে:

• অর্থাৎ, \( A \), \( P \), এবং \( B \) এই অনুপাতে বিন্যস্ত।
• এবং, বিন্যস্ত বিন্দুগুলির জন্য সাধারণত ব্যবহার হয়:

\[ \text{অন্তর্ভুক্তি সূত্র:} \quad \text{বিন্দু } P \left( \frac{m x_2 + n x_1}{m + n}, \frac{m y_2 + n y_1}{m + n} \right) \]

যেখানে, \( (x_1, y_1) = (-2, 4) \), \( (x_2, y_2) = (8, -10) \), এবং অনুপাতটি \( m:n = 2:3 \)।

তাহলে, বিন্দু \( P \) এর স্থানাঙ্ক হবে:

• এক্স-অক্ষের জন্য:

\[ x = \frac{m x_2 + n x_1}{m + n} = \frac{2 \times 8 + 3 \times (-2)}{2 + 3} = \frac{16 - 6}{5} = \frac{10}{5} = 2 \]

• ওয়াই-অক্ষের জন্য:

\[ y = \frac{m y_2 + n y_1}{m + n} = \frac{2 \times (-10) + 3 \times 4}{5} = \frac{-20 + 12}{5} = \frac{-8}{5} = -\frac{8}{5} \]

তবে, উপরের গণনাটি বিন্যস্ত বিন্দুর জন্য। কিন্তু প্রশ্নে বলা হয়েছে, বিন্দুটি 2:3 অনুপাতে বহির্ভিভক্তকারী। অর্থাৎ, বিন্দুটি \( A \) থেকে \( P \) পর্যন্ত অনুপাত 2, এবং \( P \) থেকে \( B \) পর্যন্ত অনুপাত 3।

অর্থাৎ, বিন্দু \( P \) এর জন্য, যদি আমরা ধরি \( P \) বিন্দুটি, তাহলে:

• এখানে, \( P \) থেকে \( A \) এর জন্য অনুপাত \( 2 \) এবং, \( P \) থেকে \( B \) এর জন্য অনুপাত \( 3 \)।

এবং, বহির্ভিভক্ত (exterior division) সূত্র অনুযায়ী:

\[ P = \frac{m x_2 - n x_1}{m - n} , \quad P_y = \frac{m y_2 - n y_1}{m - n} \]

এখানে, \( m = 2 \), \( n = 3 \), তাই:

• এক্স-অক্ষের জন্য:

\[ x = \frac{2 \times 8 - 3 \times (-2)}{2 - 3} = \frac{16 + 6}{-1} = \frac{22}{-1} = -22 \]

• ওয়াই-অক্ষের জন্য:

\[ y = \frac{2 \times (-10) - 3 \times 4}{2 - 3} = \frac{-20 - 12}{-1} = \frac{-32}{-1} = 32 \]

অতএব, বিন্দু \( P \) এর স্থানাঙ্ক হলো:

\[ \boxed{(-22, 32)} \]