int_0^4sqrt(16-x^2)dx=?

সমাধান: \(\int_0^4 \sqrt{16-x^2} \, dx = ?\) 🤔

আমরা এই ইন্টিগ্রালটিকে জ্যামিতিকভাবে সমাধান করতে পারি। 🤔

ধরি, \(y = \sqrt{16 - x^2}\)। তাহলে, \(y^2 = 16 - x^2\) অথবা \(x^2 + y^2 = 16\)।

এটি একটি বৃত্তের সমীকরণ যার কেন্দ্র \( (0, 0) \) এবং ব্যাসার্ধ \( r = 4 \)। যেহেতু \( y = \sqrt{16 - x^2} \), তাই \( y \ge 0 \)। সুতরাং, এটি \( x \)-অক্ষের উপরে অবস্থিত বৃত্তের অর্ধেক অংশ।

???খন, \(\int_0^4 \sqrt{16-x^2} \, dx\) হলো \( x = 0 \) থেকে \( x = 4 \) পর্যন্ত বৃত্তের ক্ষেত্রফল। এটি প্রথম চতুর্থাংশে অবস্থিত বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সমান। 🤩

সম্পূর্ণ বৃত্তের ক্ষেত্রফল \( A = \pi r^2 = \pi (4^2) = 16\pi \)।

যেহেতু আমরা শুধু প্রথম চতুর্থাংশের ক্ষেত্রফল বের করছি, তাই নির্ণেয় ক্ষেত্রফল হবে:

\(\frac{1}{4} \times 16\pi = 4\pi\). 🎉

সুতরাং, \(\int_0^4 \sqrt{16-x^2} \, dx = 4\pi\). 🥳