Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রশ্ন: সমীকরণটি হলো:
\[ x^3 - 3x + 4 = 0 \]
আমরা এই সমীকরণের মূলগুলো \(\alpha, \beta, \gamma\) জানি। আমাদের জন্য প্রয়োজন:
\[ \sum \frac{1}{\alpha} = \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} \]
পর্ব ১: মূলের সংক্রান্ত মূল সূত্রাবলী
একটি ক cubic সমীকরণের জন্য:
\[ x^3 + ax^2 + bx + c = 0 \]
এর মূলগুলো \(\alpha, \beta, \gamma\) হলে:
- \(\alpha + \beta + \gamma = -a\)
- \(\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = b\)
- \(\alpha \beta \gamma = -c\)
আমাদের সমীকরণটি হলো:
\[ x^3 + 0 \cdot x^2 - 3x + 4 = 0 \]
অর্থাৎ:
- \(a = 0\)
- \(b = -3\)
- \(c = 4\)
অতএব:
\[
\begin{cases}
\alpha + \beta + \gamma = 0 \\
\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = -3 \\
\alpha \beta \gamma = -4
\end{cases}
\]
পর্ব ২: \(\sum \frac{1}{\alpha}\) নির্ণয়
\[
\sum \frac{1}{\alpha} = \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma}
\]
এটি হলো:
\[
\frac{\beta \gamma + \alpha \gamma + \alpha \beta}{\alpha \beta \gamma}
\]
অর্থাৎ:
\[
\frac{\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha}{\alpha \beta \gamma}
\]
উপরে আমাদের জানা:
\[
\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = -3
\]
\[
\alpha \beta \gamma = -4
\]
অতএব:
\[
\sum \frac{1}{\alpha} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}
\]
উত্তর:
\[
\boxed{\frac{3}{4}}
\]
**অতএব, \(\alpha, \beta, \gamma\) মূলগুলোর \(\sum \frac{1}{\alpha} = \frac{3}{4}\)।**
