9x²-16y²-18x-64y-199=0 সমীকরণ দ্বারা সূচিত কণিকের প্রকৃতি-

প্রশ্ন:

9x² - 16y² - 18x - 64y - 199 = 0 সমীকরণ দ্বারা সূচিত কণিকের প্রকৃতি নির্ণয় করো।

উত্তর:

প্রথমে মূল সমীকরণটি লিখি:

\[ 9x^2 - 16y^2 - 18x - 64y - 199 = 0 \]

ধাপ 1: সমীকরণটি সাধারণ রূপে রূপান্তর করুন

প্রতিটি সংশ্লিষ্ট টার্মের জন্য পূর্ণ স্কোয়ার সম্পন্ন করার জন্য যথাযথভাবে ভাগ করি বা বিভাজন করি। প্রথমে সকল টার্মকে তাদের সহগ দ্বারা বিভাজন করি যেখানে সম্ভব।

প্রথমে সমীকরণটি সহজ করার জন্য প্রতিটি টার্মের জন্য বিভাজন করি:

\[ 9x^2 - 18x - 16y^2 - 64y = 199 \]

???থবা, সমীকরণটি লিখি:

\[ 9(x^2 - 2x) - 16(y^2 + 4y) = 199 \]

ধাপ 2: সম্পূর্ণ স্কোয়ার তৈরির জন্য বিকল্প

প্রতিটি প্যারেন্টেসিসের জন্য সম্পূর্ণ স্কোয়ার যোগ করি এবং বাদ দিই:

প্রথম প্যারেন্টেসিসের জন্য:

\[ x^2 - 2x = (x^2 - 2x + 1) - 1 = (x - 1)^2 - 1 \]

দ্বিতীয় প্যারেন্টেসিসের জন্য:

\[ y^2 + 4y = (y^2 + 4y + 4) - 4 = (y + 2)^2 - 4 \]

এখন সমীকরণটি লিখি:

\[ 9[(x - 1)^2 - 1] - 16[(y + 2)^2 - 4] = 199 \]

ধাপ 3: সমীকরণটি বিস্তার করি:

\[ 9(x - 1)^2 - 9 - 16(y + 2)^2 + 64 = 199 \]

সংগঠিত করি:

\[ 9(x - 1)^2 - 16(y + 2)^2 + (64 - 9) = 199 \]

\[ 9(x - 1)^2 - 16(y + 2)^2 + 55 = 199 \]

ধাপ 4: সমীকরণের উভয় পাশে 55 বিয়োগ করি:

\[ 9(x - 1)^2 - 16(y + 2)^2 = 199 - 55 \]

\[ 9(x - 1)^2 - 16(y + 2)^2 = 144 \]

ধাপ 5: সমীকরণটি মানক আকারে লিখি:

উভয় পাশে 144 দিয়ে ভাগ করি:

\[ \frac{(x - 1)^2}{16} - \frac{(y + 2)^2}{9} = 1 \]

উপসংহার:

এটি একটি হাইপারবোলা (Hyperbola) এর সমীকরণ, যার কেন্দ্রে \((1, -2)\), অক্ষের অনুপাত \(\sqrt{16} = 4\) এবং \(\sqrt{9} = 3\)।

অর্থাৎ, এই সমীকরণ দ্বারা সূচিত কণিকা একটি অধিবৃত্ত বা Hyperbola।