int_1^2 (x^3-1)/x^2 dx = ?

Another Explanation (5):

প্রশ্নঃ \(\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{x^{3} - 1}{x^{2}}\, dx\)

সমাধান:

প্রথমে integrand টি সরলীকরণ করি:

\[ \frac{x^{3} - 1}{x^{2}} = \frac{x^{3}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} = x - x^{-2} \] এখন, ইন্টিগ্রালটি লিখি:

\[ \int_{1}^{2} (x - x^{-2})\, dx \] অতঃপর, প্রতিটি উপাদানের জন্য ইন্টিগ্রাল করি:

\[ \int x\, dx = \frac{x^{2}}{2} \] এবং \[ \int x^{-2}\, dx = \int x^{-2}\, dx = -x^{-1} = -\frac{1}{x} \] সুতরাং, সমাধান হলো:

\[ \left[\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{x}\right]_{1}^{2} \] এখন, উভয় সীমার জন্য এ মানগুলো হিসাব করি:

প্রথমে, \(x=2\): \[ \frac{(2)^{2}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} + \frac{1}{2} = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \] দ্বিতীয়ত, \(x=1\): \[ \frac{(1)^{2}}{2} + \frac{1}{1} = \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} + \frac{2}{2} = \frac{3}{2} \] অতএব, মূল ইন্টিগ্রালটির মান হলো:

\[ \left(\frac{5}{2}\right) - \left(\frac{3}{2}\right) = \frac{5}{2} - \frac{3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] <প্রতিটি ধাপে দেখানো হয়েছে।> উত্তর:

1