int_0^(ln2)e^x/(1+e^x)dx= কত?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\int_0^{\ln 2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx\) সমাধান: প্রথমে, উপাদানটির জন্য substitution গ্রহণ করি: let \( t = e^x \) তাহলে, \( dt = e^x dx = t dx \) অর্থাৎ, \( dx = \frac{dt}{t} \) সীমা পরিবর্তন: যখন \( x = 0 \), তখন \( t = e^0 = 1 \) যখন \( x = \ln 2 \), তখন \( t = e^{\ln 2} = 2 \) তাহলে, ইন্টিগ্রালটি রূপান্তর হবে: \[ \int_{t=1}^{2} \frac{t}{1 + t} \cdot \frac{1}{t} \, dt \] সুতরাং, \[ \int_{1}^{2} \frac{1}{1 + t} \, dt \] এটি সহজ একটি লিনিয়ার ইন্টিগ্রাল: \[ \int_{1}^{2} \frac{1}{1 + t} \, dt = \left[ \ln |1 + t| \right]_1^2 \] মূল্য নির্ণয়: \[ = \ln(1 + 2) - \ln(1 + 1) = \ln 3 - \ln 2 \] উপসংহার: \[ \boxed{ \int_0^{\ln 2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \ln \frac{3}{2} } \]