int_0^log2 e^x/(1+e^x ) এর মান কত?

প্রশ্ন: \(\int_0^{\log 2} \frac{e^x}{1+e^x} dx\) এর মান কত?

সমাধান:

ধরি, \(u = 1 + e^x\)

তাহলে, \(\frac{du}{dx} = e^x\)

সুতরাং, \(du = e^x dx\)

যখন \(x = 0\), তখন \(u = 1 + e^0 = 1 + 1 = 2\)

যখন \(x = \log 2\), তখন \(u = 1 + e^{\log 2} = 1 + 2 = 3\)

তাহলে, সমাকলনটি হবে:

\(\int_2^3 \frac{1}{u} du\)

আমরা জানি, \(\int \frac{1}{u} du = \log |u| + C\)

সুতরাং, \(\int_2^3 \frac{1}{u} du = [\log |u|]_2^3 = \log |3| - \log |2|\)

যেহেতু \(3\) এবং \(2\) উভয়ই ধনাত্মক, তাই আমরা লিখতে পারি:

\(\log 3 - \log 2\)

লগারিদমের নিয়ম অনুযায়ী, \(\log a - \log b = \log \frac{a}{b}\)

সুতরাং, \(\log 3 - \log 2 = \log \frac{3}{2}\)

অতএব, \(\int_0^{\log 2} \frac{e^x}{1+e^x} dx = \log \frac{3}{2}\) 😃

উত্তর: \(\log \frac{3}{2}\) ✅