int_0^(pi/2) (cosxdx)/(sqrt(4-sin^2x))=? 

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\int_0^{\pi/2} \frac{\cos x\, dx}{\sqrt{4 - \sin^2 x}}\) উত্তর: \( \frac{\pi}{6} \) সমাধান: প্রথমে, ইন্টিগ্রালটিকে সহজভাবে লেখি: \[ I = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos x}{\sqrt{4 - \sin^2 x}}\, dx \] **পরিবর্তন:** সাধারণত, \(\sin x\) বা \(\cos x\) এর জন্য substitution ব্যবহার করা যায়। এখানে, \(\sin x\) এর জন্য substitution গ্রহণ করি: \[ t = \sin x \Rightarrow dt = \cos x\, dx \] যেহেতু, \(x=0 \Rightarrow t=0\) এবং \(x=\pi/2 \Rightarrow t=1\), তাই সীমা পরিবর্তিত হবে: \[ t \in [0, 1] \] এখন, ইন্টিগ্রালটি হয়: \[ I = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{4 - t^2}}\, dt \] এটি একটি সাধারণ ইন্টিগ্রাল, যা \(\frac{1}{\sqrt{a^2 - t^2}}\) এর রূপে রয়েছে। এর সমাধান হল: \[ \int \frac{dt}{\sqrt{a^2 - t^2}} = \sin^{-1}\left(\frac{t}{a}\right) + C \] এখানে, \(a^2=4 \Rightarrow a=2\), তাই: \[ I = \left. \sin^{-1}\left(\frac{t}{2}\right) \right|_{0}^{1} \] অর্থাৎ, \[ I = \sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) - \sin^{-1}(0) \] জানা যে, \(\sin^{-1}(1/2) = \pi/6\) এবং \(\sin^{-1}(0) = 0\), সুতরাং, \[ I = \frac{\pi}{6} - 0 = \frac{\pi}{6} \] **অতএব,** \[ \boxed{\int_0^{\pi/2} \frac{\cos x\, dx}{\sqrt{4 - \sin^2 x}} = \frac{\pi}{6}} \]