I=int_1^edx/(x(1+lnx)) হলে, I এর মান কত?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( I = \int_1^e \frac{dx}{x(1 + \ln x)} \) হলে, \( I \) এর মান কত? সমাধান: প্রথমে, ইন্টিগ্রালটি: \[ I = \int_1^e \frac{dx}{x(1 + \ln x)} \] এখানে, সাবস্টিটিউশান করি: ধরা যাক, \( t = \ln x \), তাহলে, \[ dt = \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x dt \] এবং \( x = e^t \), তাই: \[ dx = e^t dt \] এবং, \[ x = e^t \Rightarrow x = 1 \Rightarrow t = \ln 1 = 0 \] \[ x = e \Rightarrow t = \ln e = 1 \] এখন, ইন্টিগ্রালটি রূপান্তর: \[ I = \int_{t=0}^{t=1} \frac{e^t dt}{e^t (1 + t)} = \int_0^1 \frac{e^t}{e^t (1 + t)} dt \] সাধারণভাবে, \[ I = \int_0^1 \frac{1}{1 + t} dt \] এটি একটি সাধারণ লিনিয়ার ইন্টিগ্রাল: \[ I = \left[ \ln |1 + t| \right]_0^1 = \ln(1 + 1) - \ln(1 + 0) = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 \] অতএব, \[ \boxed{I = \ln 2} \]