int_0^1 x/(1+x^4) dx = ? 

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\int_0^1 \frac{x}{1 + x^4} \, dx = ?\) উত্তর: \(\frac{\pi}{8}\) সমাধান: প্রথমে, সমাধানটি সহজ করার জন্য সাবস্টিটিউশন বা বিকল্প উপায় অনুসরণ করি। দেখা যায় যে, ডিফারেন্সিয়াল রুল বা ট্রিক ব্যবহার করে সমস্যাটির সমাধান করা যাবে। ধরি: \(I = \int_0^1 \frac{x}{1 + x^4} \, dx\) নিচের ধাপসমূহ অনুসরণ করি: ধাপ 1: যোগফল \(I\) এর জন্য একটি বিকল্প যোগ করি: প্রথমে, \(x\) এর পরিবর্তে \(t\) রাখি, এবং একটি নতুন এক্সপ্রেশন তৈরি করি। কিন্তু এই ক্ষেত্রে, বিকল্প আসলে রূপান্তর বা রূপান্তরীয় ট্রিক ব্যবহার করা যেতে পারে। ধাপ 2: বিকল্পভাবে, আমরা মনে করি যে, এই রকম ইন্টিগ্রাল সাধারণত \(\arctan\) এর সঙ্গে সম্পর্কিত। আসুন, \(x^2 = t\) ধরি: \(x = \sqrt{t}\) তাহলে, \(dx = \frac{1}{2 \sqrt{t}} dt\) সুতরাং, ইন্টিগ্রালটি রূপান্তর হবে: \[ I = \int_{t=0}^{1} \frac{\sqrt{t}}{1 + t^2} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{t}} dt = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{1}{1 + t^2} dt \] অর্থাৎ, \[ I = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{1}{1 + t^2} dt \] এখন, এটি সুপরিচিত ইন্টিগ্রাল, \[ \int \frac{1}{1 + t^2} dt = \arctan t + C \] সুতরাং, \[ I = \frac{1}{2} [\arctan t]_0^1 = \frac{1}{2} (\arctan 1 - \arctan 0) = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{4} - 0 \right) = \frac{\pi}{8} \] অতএব, \[ \boxed{\int_0^1 \frac{x}{1 + x^4} dx = \frac{\pi}{8}} \]