int_0^4 sqrt(16-x^2) =? 

Explanation:

Another Explanation (5): গাণিতিক সমস্যাটি হলো: \(\int_0^4 \sqrt{16-x^2} \, dx\) এই ইন্টিগ্রালটিকে জ্যামিতিকভাবে সমাধান করা যায়। \(y = \sqrt{16-x^2}\) সমীকরণটি একটি বৃত্তের উপরের অর্ধভাগ নির্দেশ করে, যার কেন্দ্র মূল বিন্দুতে এবং ব্যাসার্ধ 4। \(\Rightarrow y^2 = 16 - x^2\) \(\Rightarrow x^2 + y^2 = 16 = 4^2\) যেহেতু ইন্টিগ্রেশনের সীমা 0 থেকে 4 পর্যন্ত, তাই আমরা আসলে প্রথম চতুর্থাংশে (first quadrant) অবস্থিত বৃত্তের ক্ষেত্রফল ন???র্ণয় করছি। বৃত্তের ক্ষেত্রফল = \(\pi r^2\), এখানে \(r = 4\) সুতরাং, বৃত্তের ক্ষেত্রফল = \(\pi (4^2) = 16\pi\) যেহেতু আমরা শুধুমাত্র প্রথম চতুর্থাংশের ক্ষেত্রফল বিবেচনা করছি, তাই নির্ণেয় ক্ষেত্রফল হবে: \(\frac{1}{4} \times 16\pi = 4\pi\) সুতরাং, \(\int_0^4 \sqrt{16-x^2} \, dx = 4\pi\) 🎉