int_-1^1 |x| dx  = ?

Another Explanation (5):

প্রশ্ন: \(\int_{-1}^{1} |x| \, dx\)

উত্তর: 1

সমাধান:

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, \(|x|\) ফাংশনটি সমতলভাবে \(-x\) থেকে \(x\) পর্যন্ত পরিবর্তিত হয়। বিশেষত, \(-1 \leq x \leq 1\) এর জন্য:

• যখন \(x \geq 0\), তখন \(|x| = x\).
• যখন \(x < 0\), তখন \(|x| = -x\).

অতএব, ইনটিগ্রালটি দুটি অংশে ভাগ করা যায়:

\[ \int_{-1}^{1} |x| \, dx = \int_{-1}^{0} -x \, dx + \int_{0}^{1} x \, dx \]

প্রথম অংশ:

\[ \int_{-1}^{0} -x \, dx = \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} = \left( -\frac{0^2}{2} \right) - \left( -\frac{(-1)^2}{2} \right) = 0 - \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \]

দ্বিতীয় অংশ:

\[ \int_{0}^{1} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{1} = \frac{1^2}{2} - 0 = \frac{1}{2} \]

অতএব, সমাধান:

\[ \int_{-1}^{1} |x| \, dx = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \]