∫ ((xe^x)/(1+x)^2) dx=?

Explanation:

Another Explanation (5): ∫ ((xe^x)/(1+x)²) dx = ? আমরা এই ইন্টিগ্রালটি সমাধানের জন্য প্রথমে লবকে একটু পরিবর্তন করে নেব: xe^x = (x+1-1)e^x = (x+1)e^x - e^x সুতরাং, ইন্টিগ্রালটি হবে: ∫(((x+1)e^x - e^x)/(1+x)²) dx এখন, আমরা ইন্টিগ্রালটিকে দুটি অংশে ভাগ করি: ∫(((x+1)e^x)/(1+x)²) dx - ∫(e^x/(1+x)²) dx = ∫(e^x/(1+x)) dx - ∫(e^x/(1+x)²) dx এখন, প্রথম ইন্টিগ্রাল ∫(e^x/(1+x)) dx কে আমরা ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস (integration by parts) পদ্ধতিতে সমাধান করব। ধরি, u = 1/(1+x) এবং dv = e^x dx তাহলে, du = -1/(1+x)² dx এবং v = e^x এখন, ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস এর সূত্র ব্যবহার করে: ∫ u dv = uv - ∫ v du ∫(e^x/(1+x)) dx = (e^x/(1+x)) - ∫ (e^x * (-1/(1+x)²)) dx = (e^x/(1+x)) + ∫ (e^x/(1+x)²) dx সুতরাং, আমাদের মূল ইন্টিগ্রালটি ছিল: ∫(e^x/(1+x)) dx - ∫(e^x/(1+x)²) dx এখন, ∫(e^x/(1+x)) dx এর মান বসিয়ে পাই: (e^x/(1+x)) + ∫ (e^x/(1+x)²) dx - ∫(e^x/(1+x)²) dx এখানে, ∫ (e^x/(1+x)²) dx এবং - ∫(e^x/(1+x)²) dx একে অপরের সাথে বাতিল হয়ে যায়। অতএব, আমাদের উত্তর থাকে: (e^x/(1+x)) + C সুতরাং, ∫ ((xe^x)/(1+x)²) dx = (e^x/(1+x)) + C 🥳