int_0^1 x/(1+x^4) dx = কত?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\int_0^1 \frac{x}{1 + x^4} \, dx = \text{কত?}\) উত্তর: \(\frac{\pi}{8}\) সমাধান: প্রথমে, ইন্টিগ্রেশনটি সহজ করার জন্য, \(x^4 + 1\) এর গুণনীয়ক বিভাজন বিবেচনা করি। আমরা লক্ষ্য করব যে, এই ইন্টিগ্রেশনটি ত্রিকোণমিতিক substitution এর মাধ্যমে সমাধান করা যেতে পারে। তবে, সহজ উপায় হলো, \(x^4 + 1\) এর জন্য একটি substitution দেখা। অর্থাৎ, \(x^2 = t\), তাহলে, \(x\, dx = \frac{1}{2} dt\)। তবে, এই পদ্ধতিতে সরাসরি সমাধান কঠিন হতে পারে। অন্য উপায় হলো, একটি ইন্টিগ্রেশন ট্রিক ব্যবহার করা: \[ \int \frac{x}{1 + x^4} dx \] ব্যবহার করা যেতে পারে substitution: \[ t = x^2 \implies dt = 2x dx \implies x dx = \frac{dt}{2} \] তাহলে, ইন্টিগ্রেশনটি হয়: \[ \int \frac{x}{1 + x^4} dx = \int \frac{x}{1 + (x^2)^2} dx = \int \frac{x}{1 + t^2} dx \] যেহেতু \(x dx = \frac{dt}{2}\), তখন: \[ \int \frac{x}{1 + t^2} dx = \int \frac{1}{1 + t^2} \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{1 + t^2} \] অতএব, \[ \int \frac{x}{1 + x^4} dx = \frac{1}{2} \arctan t + C \] পাশাপাশি, \(t = x^2\), তাই: \[ \int \frac{x}{1 + x^4} dx = \frac{1}{2} \arctan (x^2) + C \] এখন, নির্ধারিত ইন্টিগ্রেশন: \[ \int_0^1 \frac{x}{1 + x^4} dx = \left[ \frac{1}{2} \arctan (x^2) \right]_0^1 \] মূল্য নির্ণয়: \[ = \frac{1}{2} \left( \arctan (1^2) - \arctan (0^2) \right) = \frac{1}{2} (\arctan 1 - \arctan 0) \] জানা: \[ \arctan 1 = \frac{\pi}{4}, \quad \arctan 0 = 0 \] অতএব, \[ \int_0^1 \frac{x}{1 + x^4} dx = \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8} \] সুতরাং, উত্তর হলো: \[ \boxed{\frac{\pi}{8}} \]