int_0^(pi/2)cos^3xdx এর মান কত?

প্রশ্ন: \( \int_{0}^{\pi/2} \cos^3 x \, dx \) এর মান কত?

সমাধান:

আমরা জানি, \( \cos^3 x = \cos^2 x \cdot \cos x = (1 - \sin^2 x) \cos x \).

সুতরাং, \( \int_{0}^{\pi/2} \cos^3 x \, dx = \int_{0}^{\pi/2} (1 - \sin^2 x) \cos x \, dx \).

ধরি, \( u = \sin x \), তাহলে \( du = \cos x \, dx \).

যখন \( x = 0 \), তখন \( u = \sin 0 = 0 \) এবং যখন \( x = \pi/2 \), তখন \( u = \sin (\pi/2) = 1 \).

সুতরাং, \( \int_{0}^{\pi/2} (1 - \sin^2 x) \cos x \, dx = \int_{0}^{1} (1 - u^2) \, du \).

\( = \int_{0}^{1} (1 - u^2) \, du = \left[ u - \frac{u^3}{3} \right]_{0}^{1} \).

\( = \left( 1 - \frac{1^3}{3} \right) - \left( 0 - \frac{0^3}{3} \right) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \).

অতএব, \( \int_{0}^{\pi/2} \cos^3 x \, dx = \frac{2}{3} \)। 🎉