নিচের তথ্যগুলো লক্ষ্য কর-
- sin-1x=cosec-1 1/x
- sin-1x= pi/2 -cos-1x
- sin-1x=cos-1 sqrt(1-x^2)
নিচের কোনটি সঠিক?
উচ্চতর গণিত দ্বিতীয় পত্রবিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোনমিতিক সমীকরনবিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের সূত্রাবলী (Topic Practice)
সঠিক উত্তরঃ
D.
i, ii ও iii
Another Explanation (5): প্রশ্নের তথ্যগুলো অনুযায়ী:
(i) \(\sin^{-1} x = \csc^{-1} \frac{1}{x}\)
(ii) \(\sin^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \cos^{-1} x\)
(iii) \(\sin^{-1} x = \cos^{-1} \sqrt{1 - x^2}\)
---
### (i) \(\sin^{-1} x = \csc^{-1} \frac{1}{x}\)
**তথ???য:**
\(\sin \theta = x \Rightarrow \theta = \sin^{-1} x\)
\(\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} \Rightarrow \csc^{-1} \frac{1}{x} = \theta' \text{ such that } \csc \theta' = \frac{1}{x}\)
অর্থাৎ, \(\sin \theta' = \frac{1}{\csc \theta'} = x\)
এবং, \(\sin \theta = x\)
সুতরাং, \(\theta = \theta'\)
অর্থাৎ,
\[
\sin^{-1} x = \csc^{-1} \frac{1}{x}
\]
**সঠিক।**
---
### (ii) \(\sin^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \cos^{-1} x\)
**তথ্য:**
বিশিষ্ট সম্পর্ক:
\[
\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}
\]
অতএব,
\[
\sin^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \cos^{-1} x
\]
**সঠিক।**
---
### (iii) \(\sin^{-1} x = \cos^{-1} \sqrt{1 - x^2}\)
**তথ্য:**
আসুন দেখি, \(x = \sin \theta\)
তাহলে, \(\sqrt{1 - x^2} = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \cos \theta\)
অর্থাৎ,
\[
\cos^{-1} \sqrt{1 - x^2} = \cos^{-1} \cos \theta = \theta
\]
তবে, \(\sin^{-1} x = \theta\)
সুতরাং,
\[
\sin^{-1} x = \cos^{-1} \sqrt{1 - x^2}
\]
**অবশ্যই, এই সম্পর্কটি সঠিক।**
---
### **উপসংহার:**
উপরে তিনটি সম্পর্কই সঠিক।
**অতএব, উত্তর: "i, ii ও iii"।**
---
### **সম্পূর্ণ সমাধান (HTML ফরম্যাটে):**
```html
প্রথমত, আমরা জানি:
- \(\sin \theta = x \Rightarrow \theta = \sin^{-1} x\)
- \(\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}\)
- এবং, \(\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}\)
উপাদান (i): \(\sin^{-1} x = \csc^{-1} \frac{1}{x}\)
\(\sin \theta = x \Rightarrow \csc \theta = \frac{1}{x}\)
অর্থাৎ, \(\csc^{-1} \frac{1}{x} = \theta\)
অর্থাৎ, \(\sin^{-1} x = \csc^{-1} \frac{1}{x}\)
উপাদান (ii): \(\sin^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \cos^{-1} x\)
বিশিষ্ট সম্পর্ক: \(\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}\)
অতএব, \(\sin^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \cos^{-1} x\)
উপাদান (iii): \(\sin^{-1} x = \cos^{-1} \sqrt{1 - x^2}\)
ধরি, \(x = \sin \theta\)
তাহলে, \(\sqrt{1 - x^2} = \cos \theta\)
অতএব, \(\cos^{-1} \sqrt{1 - x^2} = \cos^{-1} \cos \theta = \theta\)
এবং, \(\sin^{-1} x = \theta\)
উপসংহার:
তিনটি সম্পর্কই সঠিক। সুতরাং, উত্তর: "i, ii ও iii".
```