কোনাে গতিশীল বস্তুর ত্বরণের মান a=-4pi^2sin(2pit) হলে, এর সরণ হবে- 

Explanation:

Another Explanation (5): গতিশীল বস্তুর ত্বরণ \( a = -4\pi^2 \sin(2\pi t) \) দেওয়া আছে। সরণ \( x \) নির্ণয় করতে হবে। আমরা জানি, ত্বরণ \( a = \frac{d^2x}{dt^2} \)। সুতরাং, \( \frac{d^2x}{dt^2} = -4\pi^2 \sin(2\pi t) \) প্রথমবার সমাকলন করে বেগ \( v \) নির্ণয় করি: \( v = \int a dt = \int -4\pi^2 \sin(2\pi t) dt \) \( v = -4\pi^2 \int \sin(2\pi t) dt \) \( v = -4\pi^2 \left( -\frac{\cos(2\pi t)}{2\pi} \right) + C_1 \) \( v = 2\pi \cos(2\pi t) + C_1 \) আবার সমাকলন করে সরণ \( x \) নির্ণয় করি: \( x = \int v dt = \int (2\pi \cos(2\pi t) + C_1) dt \) \( x = 2\pi \int \cos(2\pi t) dt + \int C_1 dt \) \( x = 2\pi \left( \frac{\sin(2\pi t)}{2\pi} \right) + C_1 t + C_2 \) \( x = \sin(2\pi t) + C_1 t + C_2 \) যদি \( t = 0 \) সময়ে \( x = 0 \) এবং \( v = 2\pi \) হয়, তবে: \( 0 = \sin(0) + C_1(0) + C_2 \Rightarrow C_2 = 0 \) এবং \( 2\pi = 2\pi \cos(0) + C_1 \Rightarrow 2\pi = 2\pi + C_1 \Rightarrow C_1 = 0 \) সুতরাং, \( x = \sin(2\pi t) \) অতএব, সরণ \( \sin(2\pi t) \) হবে। 🎉