a এর মান কত হলে নিচের ভেক্টর \( \vec{A} \) ও \( \vec{B} \) পরস্পর সমান্তরাল হবে যেখানে \( \vec{A} = 5\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} , \vec{B} = 15\hat{i} + a\hat{j} + 9\hat{k} \)?

Explanation: \(\text{Hints: } \vec{A} \text{ এবং } \vec{B} \text{ এর ভেক্টর গুণফল শূন্য হবে।}\) \(\text{Solve: } \vec{A} \times \vec{B} = 0 \text{ হলে, } \vec{A} \text{ এবং } \vec{B} \text{ পরস্পর সমান্তরাল হবে।}\) \[ \vec{A} \times \vec{B} = 0 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 5 & 2 & 3 \\ 15 & a & 9 \end{vmatrix} \] \[ = \hat{i}(18 - 3a) - \hat{j}(45 - 45) + \hat{k}(5a - 30) = 0 \] \[ \implies \hat{i}(18 - 3a) + \hat{k}(5a - 30) = 0 \]

Another Explanation (5): যদি দুটি ভেক্টর \( \vec{A} \) ও \( \vec{B} \) পরস্পর সমান্তরাল হয়, তবে তাদের উপাংশগুলোর অনুপাত সমান হবে। অর্থাৎ, \[ \frac{A_x}{B_x} = \frac{A_y}{B_y} = \frac{A_z}{B_z} \] এখানে, \( \vec{A} = 5\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} \) এবং \( \vec{B} = 15\hat{i} + a\hat{j} + 9\hat{k} \)। সুতরাং, \( A_x = 5, A_y = 2, A_z = 3 \) এবং \( B_x = 15, B_y = a, B_z = 9 \) অতএব, \[ \frac{5}{15} = \frac{2}{a} = \frac{3}{9} \] আমরা প্রথম ও তৃতীয় অনুপাত থেকে পাই, \[ \frac{5}{15} = \frac{3}{9} \] \[ \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \] সুতরাং, এই অনুপাতটি সঠিক। এখন, প্রথম ও দ্বিতীয় অনুপাত থেকে \( a \) এর মান বের করি: \[ \frac{5}{15} = \frac{2}{a} \] \[ \frac{1}{3} = \frac{2}{a} \] \[ a = 2 \times 3 \] \[ a = 6 \] সুতরাং, \( a \) এর মান 6 হলে ভেক্টর \( \vec{A} \) ও \( \vec{B} \) পরস্পর সমান্তরাল হবে।🎉