\( \vec{A} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k} \) এবং \( \vec{B} = \hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k} \)। \( \vec{A} \) ও \( \vec{B} \) যে সমতলে অবস্থিত তার লম্ব দিকে একক ভেক্টর কত?

ভেক্টর \( \vec{A} \) ও \( \vec{B} \) এর লম্ব দিকে একক ভেক্টর নির্ণয়

ধাপ ১: \( \vec{A} \) ও \( \vec{B} \) এর ক্রস গুণফল নির্ণয়:

\( \vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & -4 \end{vmatrix} \)

\( = \hat{i}[(-1 \times -4) - (3 \times 2)] - \hat{j}[(2 \times -4) - (3 \times 1)] + \hat{k}[(2 \times 2) - (-1 \times 1)] \)

\( = \hat{i}(4 - 6) - \hat{j}(-8 - 3) + \hat{k}(4 + 1) \)

\( = -2\hat{i} + 11\hat{j} + 5\hat{k} \)

ধাপ ২: \( \vec{A} \times \vec{B} \) এর মান নির্ণয়:

\( |\vec{A} \times \vec{B}| = \sqrt{(-2)^2 + (11)^2 + (5)^2} \)

\( = \sqrt{4 + 121 + 25} \)

\( = \sqrt{150} = \sqrt{25 \times 6} = 5\sqrt{6} \)

ধাপ ৩: লম্ব দিকে একক ভেক্টর নির্ণয়:

\( \hat{n} = \frac{\vec{A} \times \vec{B}}{|\vec{A} \times \vec{B}|} \)

\( = \frac{-2\hat{i} + 11\hat{j} + 5\hat{k}}{5\sqrt{6}} \)

\( = -\frac{2}{5\sqrt{6}}\hat{i} + \frac{11}{5\sqrt{6}}\hat{j} + \frac{5}{5\sqrt{6}}\hat{k} \)

\( = -\frac{2}{5\sqrt{6}}\hat{i} + \frac{11}{5\sqrt{6}}\hat{j} + \frac{1}{\sqrt{6}}\hat{k} \)

যদি উত্তরটি \( -\frac{2}{\sqrt{150}}\hat{i} + \frac{11}{\sqrt{150}}\hat{j} + \frac{5}{\sqrt{150}}\hat{k} \) আকারে প্রকাশ করা হয়, তবে:

\( \hat{n} = -\frac{2}{\sqrt{150}}\hat{i} + \frac{11}{\sqrt{150}}\hat{j} + \frac{5}{\sqrt{150}}\hat{k} \)

যুক্তিযুক্তকরণ : প্রদত্ত উত্তরটি হল \(-\frac{2}{\sqrt{6}} \hat{i} + \frac{11}{\sqrt{6}} \hat{j} + \frac{1}{\sqrt{6}} \hat{k}\) । যদি তৃতীয় কম্পোনেন্টটি \( \frac{5}{5\sqrt{6}}\hat{k} = \frac{1}{\sqrt{6}}\hat{k} \) এর পরিবর্তে \( \frac{5}{\sqrt{150}}\hat{k} \) হয়, তবে ক্যালকুলেশনে সামান্য পার্থক্য রয়েছে।

সুতরাং, সঠিক উত্তর হল: \( -\frac{2}{5\sqrt{6}}\hat{i} + \frac{11}{5\sqrt{6}}\hat{j} + \frac{1}{\sqrt{6}}\hat{k} \) অথবা \( -\frac{2}{\sqrt{150}}\hat{i} + \frac{11}{\sqrt{150}}\hat{j} + \frac{5}{\sqrt{150}}\hat{k} \) 🎯