তিনটি ভেক্টর \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \), যাদের মান যথাক্রমে 4, 3 এবং 5 যােগ করলে শূন্য হয় অর্থাৎ \( \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 0 \)। তাহলে \( |\vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b})| \) এর মান হলাে-
🤔 প্রশ্নানুসারে, \( \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 0 \)।
সুতরাং, \( \vec{c} = -(\vec{a} + \vec{b}) \) ।
এখন, \( |\vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b})| \) এর মান বের করতে হবে। 🧐
আমরা জানি, \( \vec{a} \times \vec{b} \) একটি ভেক্টর যা \( \vec{a} \) এবং \( \vec{b} \) উভয়ের উপর লম্ব। 🤓
\( \vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = -(\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} \times \vec{b}) \)
\(= -\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}) - \vec{b} \times (\vec{a} \times \vec{b}) \) 😊
ভেক্টর ত্রৈধ গুণন সূত্র ব্যবহার করে,
\( \vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{b} \)
\( \vec{b} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = (\vec{b} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{b} \cdot \vec{a})\vec{b} \)
সুতরাং, \( \vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = - [(\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{b}] - [(\vec{b} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{b} \cdot \vec{a})\vec{b}] \)
\(= -(\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a} + |\vec{a}|^2 \vec{b} - |\vec{b}|^2 \vec{a} + (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{b} \)
\(= (|\vec{a}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b}))\vec{b} - (|\vec{b}|^2 + (\vec{a} \cdot \vec{b}))\vec{a} \) 😮
যেহেতু \( \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 0 \), তাই তারা একটি ত্রিভুজ গঠন করে। ত্রিভুজের বাহুগুলোর মান 4, 3 এবং 5. যেহেতু \( 4^2 + 3^2 = 5^2 \), তাই এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ। 🤩
সুতরাং, \( \vec{a} \) এবং \( \vec{b} \) এর মধ্যবর্তী কোণ \( 90^\circ \)।
অতএব, \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{90^\circ} = 0 \) ।
তাহলে, \( \vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = |\vec{a}|^2 \vec{b} - |\vec{b}|^2 \vec{a} = 4^2 \vec{b} - 3^2 \vec{a} = 16\vec{b} - 9\vec{a} \) 🥳
এখন, \( |\vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b})| = |16\vec{b} - 9\vec{a}| \)
যেহেতু \( \vec{a} \) এবং \( \vec{b} \) লম্ব, তাই
\( |16\vec{b} - 9\vec{a}|^2 = (16|\vec{b}|)^2 + (9|\vec{a}|)^2 = (16 \times 3)^2 + (9 \times 4)^2 = 48^2 + 36^2 = 2304 + 1296 = 3600 \) ।
সুতরাং, \( |\vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b})| = \sqrt{3600} = 60 \) ।
অতএব, \( |\vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b})| \) এর মান 60. ✅
```