'a' এর কোন মানের জন্য \( 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k} \), \( 3\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k} \) এবং \( \hat{i} - 3\hat{j} + a\hat{k} \) ভেক্টরত্রয় সমতলীয়?

Another Explanation (5):

প্রশ্ন:

'a' এর কোন মানের জন্য
\(\vec{A} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}\),
\(\vec{B} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}\),
এবং \(\vec{C} = \hat{i} - 3\hat{j} + a\hat{k}\) ভেক্টরত্রয় সমতলীয়?

সমাধান:

ভেক্টরত্রয় সমতলীয় হলে, তাদের মধ্যে দুটি ভেক্টরের ক্রস প্রোডাক্ট অন্যটির সাথে সমান শূন্য। অর্থাৎ,
\(\vec{A} \times \vec{B}\) এর সাথে \(\vec{C}\) এর ডট প্রোডাক্ট শূন্য।

ধাপ ১: \(\vec{A} \times \vec{B}\) এর মান নির্ণয়

\(\vec{A} = (2, 1, -1)\),
\(\vec{B} = (3, -2, 4)\)

\(\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 3 & -2 & 4 \\ \end{vmatrix} \)

অর্থাৎ,

\[ \vec{A} \times \vec{B} = \hat{i}(1 \times 4 - (-1) \times (-2)) - \hat{j}(2 \times 4 - (-1) \times 3) + \hat{k}(2 \times (-2) - 1 \times 3) \] \[ = \hat{i}(4 - 2) - \hat{j}(8 - (-3)) + \hat{k}(-4 - 3) \] \[ = \hat{i}(2) - \hat{j}(8 + 3) + \hat{k}(-7) \] \[ = 2\hat{i} - 11\hat{j} - 7\hat{k} \]

ধাপ ২: \(\vec{C}\) এর সাথে \(\vec{A} \times \vec{B}\) এর ডট প্রোডাক্ট

\[ \vec{C} = (1, -3, a) \] \[ (\vec{A} \times \vec{B}) \cdot \vec{C} = (2)(1) + (-11)(-3) + (-7)(a) \] \[ = 2 + 33 - 7a \]

ধাপ ৩: সমতলীয়তার শর্ত

\[ ( \vec{A} \times \vec{B} ) \cdot \vec{C} = 0 \] অর্থাৎ, \[ 2 + 33 - 7a = 0 \] \[ 35 - 7a = 0 \] \[ 7a = 35 \] \[ a = 5 \]

উত্তর:

অতএব, \(a = 5\) মানের জন্য ভেক্টরত্রয় সমতলীয় হবে।