λ-এর কোন মানের জন্য2hati - hatj + hatk, hati + 2hatj - 3hatk and 4hati - hatj + lambdahatk ভেক্টর তিনটি সমতলীয় হবে? 

🤔 প্রশ্ন: λ-এর কোন মানের জন্য \( \vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}, \vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k} \) এবং \( \vec{c} = 4\hat{i} - \hat{j} + \lambda\hat{k} \) ভেক্টর তিনটি সমতলীয় হবে?

💡 সমাধান:

তিনটি ভেক্টর \( \vec{a}, \vec{b}, \) এবং \( \vec{c} \) সমতলীয় হওয়ার শর্ত হলো এদের স্কেলার ট্রিপল গুণফল শূন্য হওয়া। অর্থাৎ, \( [\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] = 0 \) হতে হবে।

স্কেলার ট্রিপল গুণফল নির্ণয়:

\( [\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 4 & -1 & \lambda \end{vmatrix} \)

এখন, ডিটারমিন্যান্টের মান বের করি:

\( = 2 \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ -1 & \lambda \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 4 & \lambda \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} \)

\( = 2(2\lambda - 3) + (\lambda + 12) + (-1 - 8) \)

\( = 4\lambda - 6 + \lambda + 12 - 9 \)

\( = 5\lambda - 3 \)

যেহেতু ভেক্টর তিনটি সমতলীয়, তাই \( 5\lambda - 3 = 0 \) হতে হবে।

সুতরাং, \( 5\lambda = 3 \)

অতএব, \( \lambda = \frac{3}{5} \)

🎯 উত্তর: \( \lambda = \frac{3}{5} \) 🎉