ধ্রুবক a এর মান নির্ণয় কর যেন2underlinei-underlinej+underlinek, underlinei+2underlinej-3underlinek,3underlinei+aunderlinej+5underlinek এই তিনটি ডেক্টর একই সমতলে থাকে।

সমাধান:

\vec{A} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}
\vec{B} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}
\vec{C} = 3\hat{i} + a\hat{j} + 5\hat{k}

\vec{A} \times \vec{B} = 
\begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
2 & -1 & 1 \\
1 & 2 & -3 \\
\end{vmatrix}
= \hat{i}((-1)(-3) - 1 \times 2) - \hat{j}(2 \times (-3) - 1 \times 1) + \hat{k}(2 \times 2 - (-1) \times 1)

= \hat{i}(3 - 2) - \hat{j}(-6 - 1) + \hat{k}(4 + 1)
= \hat{i}(1) - \hat{j}(-7) + \hat{k}(5)
= \hat{i} + 7\hat{j} + 5\hat{k}

\vec{A} \cdot \vec{C} = (2)(3) + (-1)(a) + (1)(5) = 6 - a + 5 = 11 - a
\end{pre>

এবং, \(\vec{B}\) ও \(\vec{C}\) এর ডট প্রোডাক্ট:

\vec{B} \cdot \vec{C} = (1)(3) + (2)(a) + (-3)(5) = 3 + 2a - 15 = 2a - 12
\end{pre>

তাদের সমতলে থাকার জন্য, \(\vec{A} \times \vec{B}\) ও \(\vec{A}\), \(\vec{B}\) এর মধ্যে কোলিনিয়ার হতে হবে। অর্থাৎ:

\vec{A} \times \vec{B} = \lambda \vec{A}
\quad \text{এবং} \quad
\vec{A} \times \vec{B} = \mu \vec{B}
\end{pre>

কিন্তু সহজভাবে, যদি তিনটি ডেক্টর একই সমতলে থাকে, তবে তারা একটি সমতল ভেক্টর স্পেসে থাকতে হবে এবং তাদের ক্রস প্রোডাক্ট শূন্যের সমান হবে বা কমপক্ষে \(\vec{A}\), \(\vec{B}\), ও \(\vec{C}\) মিলিতভাবে কোলিনিয়ার হবে।

অতএব, \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) এর ক্রস প্রোডাক্টের সাথে \(\vec{C}\) এর ডট প্রোডাক্টের সম্পর্ক অনুসারে:

(\vec{A} \times \vec{B}) \cdot \vec{C} = 0


গণনা করি:

(\hat{i} + 7\hat{j} + 5\hat{k}) \cdot (3\hat{i} + a\hat{j} + 5\hat{k}) = 0


এখন,

= 1 \times 3 + 7 \times a + 5 \times 5 = 3 + 7a + 25 = 0


সমাধান করি:

7a + 28 = 0
\Rightarrow 7a = -28
\Rightarrow a = -4


উত্তর: a = -4