(m, 0), (0, n) (1,1 ) বিন্দু তিনটি সমরেখ হওয়ার শর্ত কোনটি?

Another Explanation (5):

প্রশ্নের উত্তর: (m, 0), (0, n), (1, 1) বিন্দু তিনটি সমরেখ হওয়ার শর্ত

দেয়া তিনটি বিন্দু হলো:

• \(A(m, 0)\)
• \(B(0, n)\)
• \(C(1, 1)\)

তিনটি বিন্দু যদি একই সরলরেখায় থাকে, তবে তাদের মধ্যবর্তী রেখার স্লোপ সমান হবে।

ধাপ ১: প্রতিটি বিন্দুর থেকে রেখার স্লোপ নির্ণয় করব।

• স্লোপ \(AB\):

\[ m_{AB} = \frac{0 - n}{m - 0} = -\frac{n}{m} \]

• স্লোপ \(AC\):

\[ m_{AC} = \frac{1 - 0}{1 - m} = \frac{1}{1 - m} \]

• স্লোপ \(BC\):

\[ m_{BC} = \frac{1 - n}{1 - 0} = 1 - n \]

ধাপ ২: সমরেখ হওয়ার জন্য, সব স্লোপ সমান হতে হবে।

অর্থাৎ:

• \(m_{AB} = m_{AC}\):

\[ -\frac{n}{m} = \frac{1}{1 - m} \] বিন্যাস করব:

\[ - n (1 - m) = m \] \[ - n + n m = m \] \[ n m - m = n \] \[ m (n - 1) = n \] \[ m = \frac{n}{n - 1} \]

• \(m_{AB} = m_{BC}\):

\[ -\frac{n}{m} = 1 - n \] বিন্যাস করব:

\[ - n = m (1 - n) \] \[ - n = m - m n \] \[ m - m n + n = 0 \] \[ m (1 - n) = - n \] \[ m = \frac{- n}{1 - n} \]

ধাপ ৩: দুইটি সমানতা থেকে সমাধান:

\[ \frac{n}{n - 1} = \frac{- n}{1 - n} \] দ্রষ্টব্য: \(\frac{- n}{1 - n} = \frac{n}{n - 1}\) কারণ উভয়ই একই মান, শুধু নিম্নলিখিত রূপে: \[ \frac{- n}{1 - n} = \frac{n}{n - 1} \] এখন, সমানতা প্রমাণ করব: \[ \frac{n}{n - 1} = \frac{n}{n - 1} \] এটি অবশ্যই সত্য, যদি \(n \neq 1\) (যেহেতু ডিনোমিনেটর 0 হওয়া থেকে রোধ করতে হবে)। অতএব, আমাদের মূল শর্ত হলো: \[ m = \frac{n}{n - 1} \] এখন, এই মানের জন্য, যদি \(m\) এই রূপে হয়, তাহলে সমরেখ হবে। পরিবর্তে, এই সমীকরণ থেকে সমাধান করা যায়: \[ m (n - 1) = n \] \[ m n - m = n \] \[ m n - n = m \] \[ n (m - 1) = m \] \[ n = \frac{m}{m - 1} \] এখন, \(m, n\) এর মধ্যে সম্পর্ক: \[ m + n = mn \] যা শর্তটি দেওয়া হয়েছে।

সারাংশ:

তিন বিন্দু সমরেখ হওয়ার জন্য, তাদের সম্পর্ক হলো:

\[ m + n = mn \]