2hati-hatj+hatk, hati+2 hatj - 3hatk    এবং  4hati - hatj + λhatk   ভেক্টর তিনটি সমতলীয় হলে  λ  এর মান কোনটি?

Explanation:

Another Explanation (5): যদি তিনটি ভেক্টর \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) এবং \(\vec{c}\) সমতলীয় হয়, তবে তাদের স্কেলার ট্রিপল গুণফল শূন্য হবে। অর্থাৎ, \[ \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0 \] এখানে, ভেক্টরগুলো হলো: \[ \vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k} \] \[ \vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k} \] \[ \vec{c} = 4\hat{i} - \hat{j} + \lambda\hat{k} \] প্রথমে \(\vec{b} \times \vec{c}\) নির্ণয় করি: \[ \vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -3 \\ 4 & -1 & \lambda \end{vmatrix} = (2\lambda - 3)\hat{i} - (\lambda + 12)\hat{j} + (-1 - 8)\hat{k} = (2\lambda - 3)\hat{i} - (\lambda + 12)\hat{j} - 9\hat{k} \] এখন, \(\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0\) হবে: \[ (2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) \cdot ((2\lambda - 3)\hat{i} - (\lambda + 12)\hat{j} - 9\hat{k}) = 0 \] \[ 2(2\lambda - 3) + (\lambda + 12) - 9 = 0 \] \[ 4\lambda - 6 + \lambda + 12 - 9 = 0 \] \[ 5\lambda - 3 = 0 \] \[ 5\lambda = 3 \] \[ \lambda = \frac{3}{5} \] সুতরাং, \(\lambda\) এর মান \(\frac{3}{5}\)। 🎉