cos(π/24)= কত?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\cos\left(\frac{\pi}{24}\right)\) কত? উত্তর: \[ \cos\left(\frac{\pi}{24}\right) = \cos(7.5^\circ) \] এটি \(\frac{\pi}{24}\) এর কোণের মান। এই কোণের জন্য আমরা ডাবল অ্যাংগেল সূত্র ব্যবহার করতে পারি। চলুন প্রথমে \(\cos(15^\circ)\) নির্ণয় করি, কারণ: \[ 15^\circ = 45^\circ - 30^\circ \] তাই, \[ \cos(15^\circ) = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos(45^\circ)\cos(30^\circ) + \sin(45^\circ)\sin(30^\circ) \] মূল্যসমূহ: \[ \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \] অতঃপর, \[ \cos(15^\circ) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) \] \[ = \frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \] এখন, \(\cos(7.5^\circ) = \cos\left(\frac{15^\circ}{2}\right)\), অর্থাৎ, \[ \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}} \] এখানে \(\theta = 15^\circ\), এবং চূড়ান্ত কোণের জন্য \(\cos(7.5^\circ)\) এর মান ধনাত্মক হওয়ায়, \[ \cos(7.5^\circ) = \sqrt{\frac{1 + \cos(15^\circ)}{2}} \] উপরে নির্ণীত \(\cos(15^\circ)\) মান প্রবেশ করি: \[ \cos(7.5^\circ) = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{2}} \] প্রথমে ভগ্নাংশের ভেতরের অংশ: \[ \frac{1 + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{2} = \frac{\frac{4}{4} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{2} = \frac{\frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{2} \] এ???ন, \[ = \frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4 \times 2} = \frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} \] অতএব, \[ \cos(7.5^\circ) = \sqrt{\frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{8}} \] এখন, এই রূপকে সাধারণ রূপে লেখার জন্য, \[ \cos\left(\frac{\pi}{24}\right) = \sqrt{\frac{2 + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}}{2}} \] উপসংহার: \[ \boxed{ \cos\left(\frac{\pi}{24}\right) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3 + \sqrt{2}}}}{2} } \] অথবা, \[ \cos\left(\frac{\pi}{24}\right) = \frac{1}{2} \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}} \]