\( \frac{1}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x}{y} \right) = ? \)

Explanation: প্রশ্ন বিশ্লেষণ: \( \frac{1}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x}{y} \right) = ? \) এর সমাধান জানতে চাওয়া হয়েছে। অপশন বিশ্লেষণ: A. \( \tan^{-1}\left( \frac{x}{y} + \sqrt{y^2 - x^2} \right) \): সঠিক, এটি সঠিক উত্তর। B. \( \tan^{-1}\left( \frac{y}{x} + \sqrt{y^2 - x^2} \right) \): ভুল, এটি সঠিক নয়। C. \( \tan^{-1}\left( \sqrt{y} - \frac{x}{y} + x \right) \): ভুল, এটি সঠিক নয়। D. \( \tan^{-1}\left( \sqrt{y} + \frac{x}{y} - x \right) \): ভুল, এটি সঠিক নয়। E. \( 2\tan^{-1}\left( \frac{x}{y} + \sqrt{x^2 - y^2} \right) \): ভুল, এটি সঠিক নয়। নোট: এই প্রশ্নে অ্যাক্সিনভাস সমীকরণ সমাধান করার জন্য সংশ্লিষ্ট সূত্র ব্যবহার করতে হয়।

Another Explanation (5): ```html

প্রশ্ন: \( \frac{1}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x}{y} \right) = ? \)

সমাধান:

ধরি, \( \theta = \sin^{-1} \left( \frac{x}{y} \right) \). তাহলে, \( \sin \theta = \frac{x}{y} \). 🤩

আমাদের নির্ণয় করতে হবে, \( \frac{1}{2} \theta \) এর মান।

আমরা জানি, \( \tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} \) । 🥰

এখন, \( \cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{x^2}{y^2}} = \sqrt{\frac{y^2 - x^2}{y^2}} = \frac{\sqrt{y^2 - x^2}}{y} \) । 😎

অতএব, \( \tan \frac{\theta}{2} = \frac{\frac{x}{y}}{1 + \frac{\sqrt{y^2 - x^2}}{y}} = \frac{\frac{x}{y}}{\frac{y + \sqrt{y^2 - x^2}}{y}} = \frac{x}{y + \sqrt{y^2 - x^2}} \) । 🤔

এখন, লব ও হরকে \( y - \sqrt{y^2 - x^2} \) দিয়ে গুণ করে পাই, 😇 \( \tan \frac{\theta}{2} = \frac{x(y - \sqrt{y^2 - x^2})}{(y + \sqrt{y^2 - x^2})(y - \sqrt{y^2 - x^2})} = \frac{x(y - \sqrt{y^2 - x^2})}{y^2 - (y^2 - x^2)} = \frac{x(y - \sqrt{y^2 - x^2})}{x^2} = \frac{y - \sqrt{y^2 - x^2}}{x} \)

তাহলে, \( \frac{\theta}{2} = \tan^{-1} \left( \frac{x}{y + \sqrt{y^2 - x^2}} \right) \) অথবা \( \frac{\theta}{2} = \tan^{-1} \left( \frac{y - \sqrt{y^2 - x^2}}{x} \right) \)।

কিন্তু উত্তরের সাথে মেলানোর জন্য আমরা প্রথম রূপটি ব্যবহার করব:

\( \frac{1}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x}{y} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{x}{y + \sqrt{y^2 - x^2}} \right) \) । 🎉

```