ধ্রুবক a নির্ণয় কর যাতে  vecA=ahati-2hatj+hatk  এবং vecB=2ahati+ahatj-4hatk পরস্পরের উপর লম্ব হয়?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: ধ্রুবক \(a\) নির্ণয় কর যাতে \(\vec{A} = a \hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k}\) এবং \(\vec{B} = 2 a \hat{i} + a \hat{j} - 4 \hat{k}\) পরস্পরের উপর লম্ব হয়। উত্তর: দুটি ভেক্টর পরস্পরের উপর লম্ব হলে তাদের ডট প্রোডাক্ট শূন্য হয়। অর্থাৎ, \[ \vec{A} \cdot \vec{B} = 0 \] দুটি ভেক্টর এর ডট প্রোডাক্ট হল: \[ \vec{A} \cdot \vec{B} = (a)(2a) + (-2)(a) + (1)(-4) \] Calculating: \[ 2a^2 - 2a - 4 = 0 \] এখন, এই সমীকরণটি সমাধান করি: \[ 2a^2 - 2a - 4 = 0 \] উভর গুণনীয়ক দ্বারা ভাগ করি: \[ a^2 - a - 2 = 0 \] এটি একটি মানসমূহের সমীকরণ, যা আমরা সমাধান করব: \[ a^2 - a - 2 = 0 \] প্রশ্নে, এটি একটি সাধারণ quadratic সমীকরণ। এর মূলগুলো খুঁজে বের করি: \[ a = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \times 1 \times (-2)}}{2 \times 1} \] সরলীকরণ: \[ a = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} \] \[ a = \frac{1 \pm 3}{2} \] অর্থাৎ, \[ a = \frac{1 + 3}{2} = 2 \] অথবা \[ a = \frac{1 - 3}{2} = -1 \] সুতরাং, ধ্রুবক \(a\) এর মান হলো: \[ a = 2 \quad \text{বা} \quad a = -1 \] উত্তর: "2, -1"