এমন একটি একক ভেক্টর নির্ণয় কর যা xy তলের সমান্তরাল এবং 2hati-2hatj+6hatk এর সাথে সমকোণে অবস্থিত?

প্রশ্ন:

এমন একটি একক ভেক্টর নির্ণয় কর যা \( xy \) তলের সমান্তরাল এবং \( 2\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k} \) এর সাথে সমকোণে অবস্থিত?

উত্তর:

\( \pm \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} \)

সমাধান:

মনে করি, নির্ণেয় ভেক্টরটি \( \vec{v} = a\hat{i} + b\hat{j} + 0\hat{k} \)  (যেহেতু এটি \( xy \) তলের সমান্তরাল)।

যেহেতু \( \vec{v} \) এবং \( 2\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k} \) পরস্পর লম্ব, তাই তাদের ডট গুণফল শূন্য হবে।

অতএব, \( \vec{v} \cdot (2\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k}) = 0 \)

\( \Rightarrow 2a - 2b + 0 = 0 \)

\( \Rightarrow a = b \)

সুতরাং, \( \vec{v} = a\hat{i} + a\hat{j} \)

যেহেতু \( \vec{v} \) একটি একক ভেক্টর, তাই \( |\vec{v}| = 1 \)।

\( \Rightarrow \sqrt{a^2 + a^2} = 1 \)

\( \Rightarrow \sqrt{2a^2} = 1 \)

\( \Rightarrow \sqrt{2} |a| = 1 \)

\( \Rightarrow |a| = \frac{1}{\sqrt{2}} \)

\( \Rightarrow a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \)

সুতরাং, নির্ণেয় একক ভেক্টরটি হল:

\( \vec{v} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} + \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j} \)

\( \vec{v} = \pm \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} \) 🎉