Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রশ্ন: \(\displaystyle \int_0^{\pi/4} \frac{dx}{1 + \cos 2x}\)
প্রথমে, ডেনোমিনেটরকে সহজ করার জন্য পরিচিত ট্রিগোনোমেট্রিক সমীকরণটি ব্যবহার করি:
\[
1 + \cos 2x = 2 \cos^2 x
\]
অতএব, ইন্টিগ্রালটি হয়:
\[
\int_0^{\pi/4} \frac{dx}{2 \cos^2 x} = \frac{1}{2} \int_0^{\pi/4} \frac{dx}{\cos^2 x}
\]
এখন, \(\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x\), তাই:
\[
\frac{1}{2} \int_0^{\pi/4} \sec^2 x \, dx
\]
আমাদের জানা যে:
\[
\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C
\]
সুতরাং, ইন্টিগ্রালটি হয়:
\[
\frac{1}{2} \left[ \tan x \right]_0^{\pi/4}
\]
এখন, সীমার মান বসিয়ে দিই:
\[
= \frac{1}{2} (\tan (\pi/4) - \tan 0) = \frac{1}{2} (1 - 0) = \frac{1}{2}
\]
অতএব, উত্তর হল:
উত্তর: \(\displaystyle \frac{1}{2}\)
