int_0^(pi/4)tan^2xsec^2x dx এর মান কত?

ধাপ ১: প্রদত্ত ইন্টিগ্রালটি হলো:

\(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^2(x) \sec^2(x) \, dx\)

ধাপ ২: প্রতিস্থাপন পদ্ধতি ব্যবহার করি। ধরি,

\(u = \tan(x)\)

তাহলে,

\(\frac{du}{dx} = \sec^2(x)\)

সুতরাং,

\(du = \sec^2(x) \, dx\)

ধাপ ৩: লিমিট পরিবর্তন করি।

যখন \(x = 0\), তখন \(u = \tan(0) = 0\).

যখন \(x = \frac{\pi}{4}\), তখন \(u = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1\).

ধাপ ৪: এখন ইন্টিগ্রালটি \(u\) এর সাপেক্ষে লিখি।

\(\int_{0}^{1} u^2 \, du\)

ধাপ ৫: ইন্টিগ্রালটি সমাধান করি।

\(\int_{0}^{1} u^2 \, du = \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{0}^{1}\)

ধাপ ৬: লিমিট বসিয়ে মান বের করি।

\(\left[ \frac{u^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}\)

অতএব, \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^2(x) \sec^2(x) \, dx = \frac{1}{3}\) 🎉