int_0^(π/4)dx/(1+cos2x) এর মান কোনটি?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রশ্ন: \(\displaystyle \int_0^{\pi/4} \frac{dx}{1 + \cos 2x}\) প্রথমে, ডেনোমিনেটরকে সহজ করার জন্য পরিচিত ট্রিগোনোমেট্রিক সমীকরণটি ব্যবহার করি: \[ 1 + \cos 2x = 2 \cos^2 x \] অতএব, ইন্টিগ্রালটি হয়: \[ \int_0^{\pi/4} \frac{dx}{2 \cos^2 x} = \frac{1}{2} \int_0^{\pi/4} \frac{dx}{\cos^2 x} \] এখন, \(\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x\), তাই: \[ \frac{1}{2} \int_0^{\pi/4} \sec^2 x \, dx \] আমাদের জানা যে: \[ \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C \] সুতরাং, ইন্টিগ্রালটি হয়: \[ \frac{1}{2} \left[ \tan x \right]_0^{\pi/4} \] এখন, সীমার মান বসিয়ে দিই: \[ = \frac{1}{2} (\tan (\pi/4) - \tan 0) = \frac{1}{2} (1 - 0) = \frac{1}{2} \] অতএব, উত্তর হল:

উত্তর: \(\displaystyle \frac{1}{2}\)