int e^xsecx (1+tanx)dx=? 

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( \int e^x \sec x (1 + \tan x) \, dx \) উত্তর: \( e^x \sec x + c \) সমাধান: আমরা প্রথমে ইন্টেগ্রালটিকে পুনরায় লিখবো: \[ I = \int e^x \sec x (1 + \tan x) \, dx \] \[ I = \int e^x \sec x + e^x \sec x \tan x \, dx \] এখন, প্রথম অংশ: \[ I_1 = \int e^x \sec x \, dx \] দ্বিতীয় অংশ: \[ I_2 = \int e^x \sec x \tan x \, dx \] **ধাপ 1:** \( I_2 \) এর জন্য সাবস্টিটিউশান: \[ u = \sec x \Rightarrow du = \sec x \tan x \, dx \] অতএব, \[ I_2 = \int e^x \, du \] **ধাপ 2:** এখন, \( I_2 \) এর জন্য: \[ I_2 = \int e^x \, du \] এখানে \( u = \sec x \), তবে \( e^x \) এর সাথে সম্পর্ক নেই \( u \) বা \( du \) এর। কিন্তু, লক্ষ্য হলো \( e^x \) এর সাথে \( u \) এর সম্পর্ক খুঁজে বের করা। তবে, \( e^x \) ও \( \sec x \) এর আলাদা আলাদা ফাংশন। কিন্তু, লক্ষ্য হলো \( I \) এর সমাধান সহজভাবে পেতে। **ধাপ 3:** \( I_1 \) এর জন্য: আমরা জানি: \[ \frac{d}{dx} (e^x \sec x) = e^x \sec x + e^x \sec x \tan x \] কারণ, \[ \frac{d}{dx} (e^x \sec x) = e^x \sec x + e^x \sec x \tan x \] এটি আসলে: \[ \frac{d}{dx} (e^x \sec x) = e^x \sec x (1 + \tan x) \] অর্থাৎ, \[ \boxed{ \frac{d}{dx} (e^x \sec x) = e^x \sec x (1 + \tan x) } \] এখানে দেখাচ্ছে যে, \[ I = \int e^x \sec x (1 + \tan x) \, dx = e^x \sec x + c \] **সিদ্ধান্ত:** অতএব, \[ \boxed{ \int e^x \sec x (1 + \tan x) \, dx = e^x \sec x + c } \]