2x2 + 2y2 - 4x + 8y - 8 = 0 একটি বৃত্তের সমীকরণ।
বৃত্তটি দ্বারা x-অক্ষের খণ্ডিত অংশ কত?
সমাধান:
প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ হলো:
\[ 2x^2 + 2y^2 - 4x + 8y - 8 = 0 \]
প্রথমে, সমীকরণকে সাধারণ বৃত্তের সমীকরণের রূপে রূপান্তর করি। সব সদস্যকে 2 দ্বারা ভাগ করি:
\[ x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 = 0 \]
এখন, \(x\) ও \(y\) এর জন্য সম্পূর্ণ বর্গের রূপে রূপান্তর করি। যথাক্রমে,:
- \(x^2 - 2x = x^2 - 2x + 1 - 1 = (x - 1)^2 - 1\)
- \(y^2 + 4y = y^2 + 4y + 4 - 4 = (y + 2)^2 - 4\)
অতএব, সমীকরণটি হয়:
\[ (x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 - 4 = 0 \]
\[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 - 9 = 0 \]
অর্থাৎ,
\[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9 \]
এটি একটি কেন্দ্রীয় বৃত্ত যার কেন্দ্র \( (1, -2) \) এবং রেডিয়াস \( r = \sqrt{9} = 3 \)।
বৃত্ত দ্বারা x-অক্ষের খণ্ডিত অংশের জন্য:
x-অক্ষের উপর y = 0।
বৃত্তের সমীকরণে y = 0 বসিয়ে:
\[ (x - 1)^2 + (0 + 2)^2 = 9 \] \[\Rightarrow (x - 1)^2 + 4 = 9 \] \[\Rightarrow (x - 1)^2 = 5 \] \[\Rightarrow x - 1 = \pm \sqrt{5} \] \[\Rightarrow x = 1 \pm \sqrt{5} \]
অর্থাৎ, x-অক্ষের উপর বৃত্তের খণ্ডিত অংশের দুটি বিন্দু রয়েছে যেখানে x মান যথাক্রমে \( 1 + \sqrt{5} \) এবং \( 1 - \sqrt{5} \)।
অতএব, খণ্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য:
\[ \text{দৈর্ঘ্য} = (1 + \sqrt{5}) - (1 - \sqrt{5}) = \sqrt{5} + \sqrt{5} = 2 \sqrt{5} \]
উত্তর:
2√5