\( x^2 + y^2 - 6x - 2\sqrt{3}y + 3 = 0 \) বৃত্তটির কেন্দ্রের স্থানাংক কত?

প্রশ্নের সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ: \( x^2 + y^2 - 6x - 2\sqrt{3}y + 3 = 0 \)

আমরা এই সমীকরণ থেকে বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় করব।

ধাপ 1: সমীকরণটি সাধারণ বৃত্তের সমীকরণে রূপান্তর করুন:

প্রথমে, সমীকরণটি গ্রুপ করি:

\[ x^2 - 6x + y^2 - 2\sqrt{3} y + 3 = 0 \]

ধাপ 2: সম্পূর্ণ বর্গের জন্য যোগ ও বিয়োগ করুন:

প্রতিটি ভেরিয়েবলের জন্য আলাদা করে সম্পূর্ণ বর্গ তৈরি করি।

প্রথমের জন্য:

\[ x^2 - 6x \]

সম্পূর্ণ বর্গের জন্য, \(\left( x - \frac{6}{2} \right)^2 = (x - 3)^2 \)

\[ x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9 \]

\[ y^2 - 2\sqrt{3} y \]

সম্পূর্ণ বর্গের জন্য, \(\left( y - \frac{2\sqrt{3}}{2} \right)^2 = ( y - \sqrt{3} )^2 \)

\[ y^2 - 2\sqrt{3} y = ( y - \sqrt{3} )^2 - 3 \]

ধাপ 3: সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন:

সুতরাং, সমীকরণটি হবে:

\[ (x - 3)^2 - 9 + ( y - \sqrt{3} )^2 - 3 + 3 = 0 \]

সরলীকরণ করলে:

\[ (x - 3)^2 + ( y - \sqrt{3} )^2 - 9 - 3 + 3 = 0 \]

\[ (x - 3)^2 + ( y - \sqrt{3} )^2 - 9 = 0 \]

অর্থাৎ:

\[ (x - 3)^2 + ( y - \sqrt{3} )^2 = 9 \]

উপসংহার:

এখানে, বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হলো \(\boxed{(3, \sqrt{3})}\)