x2 + y2 - 10x - 12y + 20 = 0 বৃত্ত দ্বারা y-অক্ষের খণ্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য কত একক?
8
প্রশ্নের সমাধান:
মূল বক্ররেখার সমীকরণ:
\[ x^2 + y^2 - 10x - 12y + 20 = 0 \]
ধাপ ১: বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় করা:
প্রথমে, সমীকরণটি সম্পূরক পূর্ণরূপে রূপান্তর করি।
সমীকরণটি লিখুন:
\[ x^2 - 10x + y^2 - 12y + 20 = 0 \]
ধাপ ২: x ও y এর জন্য সম্পূরক পূর্ণরূপ সম্পন্ন করি:
প্রতিটি অংশের জন্য সম্পূরক যোগ করি:
- x এর জন্য: \[ x^2 - 10x + 25 \] (কারণ \((x - 5)^2 = x^2 - 10x + 25\))
- y এর জন্য: \[ y^2 - 12y + 36 \] (কারণ \((y - 6)^2 = y^2 - 12y + 36\))
সমীকরণে এই যোগফল যোগ করি ও বাদও দিই, যাতে সমীকরণটি সমান থাকে:
\[ (x^2 - 10x + 25) + (y^2 - 12y + 36) = -20 + 25 + 36 \]
অর্থাৎ:
\[ (x - 5)^2 + (y - 6)^2 = 41 \]
ধাপ ৩: বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ:
বৃত্তের কেন্দ্র: \((5, 6)\)
ব্যাসার্ধ: \(\sqrt{41}\)
ধাপ ৪: y-অক্ষের খণ্ডিতাংশের জন্য সমাধান:
y-অক্ষের উপর, যেখানে \(x = 0\), সেখানে সমীকরণে মান বসাবো:
\[ (0 - 5)^2 + (y - 6)^2 = 41 \]
\[ 25 + (y - 6)^2 = 41 \]
\[ (y - 6)^2 = 16 \]
অতএব:
\[ y - 6 = \pm 4 \]
অর্থাৎ:
\[ y = 6 + 4 = 10 \quad \text{বা} \quad y = 6 - 4 = 2 \]
ধাপ ৫: y-অক্ষের খণ্ডের দৈর্ঘ্য নির্ণয়:
y-অক্ষের খণ্ডের দুটি বিন্দু: \((0, 10)\) ও \((0, 2)\)
দৈর্ঘ্য = |উচ্চতার পার্থক্য| = \(|10 - 2| = 8\) একক।
উত্তর:
বৃত্ত দ্বারা y-অক্ষের খণ্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য = 8 একক।