x²​ + y²​ - 10x - 12y + 20 = 0 বৃত্ত দ্বারা y-অক্ষের খণ্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য কত একক?​​​​​​

প্রশ্নের সমাধান:

মূল বক্ররেখার সমীকরণ:

\[ x^2 + y^2 - 10x - 12y + 20 = 0 \]

ধাপ ১: বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় করা:

প্রথমে, সমীকরণটি সম্পূরক পূর্ণরূপে রূপান্তর করি।

সমীকরণটি লিখুন:

\[ x^2 - 10x + y^2 - 12y + 20 = 0 \]

ধাপ ২: x ও y এর জন্য সম্পূরক পূর্ণরূপ সম্পন্ন করি:

প্রতিটি অংশের জন্য সম্পূরক যোগ করি:

• x এর জন্য: \[ x^2 - 10x + 25 \] (কারণ \((x - 5)^2 = x^2 - 10x + 25\))
• y এর জন্য: \[ y^2 - 12y + 36 \] (কারণ \((y - 6)^2 = y^2 - 12y + 36\))

সমীকরণে এই যোগফল যোগ করি ও বাদও দিই, যাতে সমীকরণটি সমান থাকে:

\[ (x^2 - 10x + 25) + (y^2 - 12y + 36) = -20 + 25 + 36 \]

অর্থাৎ:

\[ (x - 5)^2 + (y - 6)^2 = 41 \]

ধাপ ৩: বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ:

বৃত্তের কেন্দ্র: \((5, 6)\)

ব্যাসার্ধ: \(\sqrt{41}\)

ধাপ ৪: y-অক্ষের খণ্ডিতাংশের জন্য সমাধান:

y-অক্ষের উপর, যেখানে \(x = 0\), সেখানে সমীকরণে মান বসাবো:

\[ (0 - 5)^2 + (y - 6)^2 = 41 \]

\[ 25 + (y - 6)^2 = 41 \]

\[ (y - 6)^2 = 16 \]

অতএব:

\[ y - 6 = \pm 4 \]

অর্থাৎ:

\[ y = 6 + 4 = 10 \quad \text{বা} \quad y = 6 - 4 = 2 \]

ধাপ ৫: y-অক্ষের খণ্ডের দৈর্ঘ্য নির্ণয়:

y-অক্ষের খণ্ডের দুটি বিন্দু: \((0, 10)\) ও \((0, 2)\)

দৈর্ঘ্য = |উচ্চতার পার্থক্য| = \(|10 - 2| = 8\) একক।

উত্তর:

বৃত্ত দ্বারা y-অক্ষের খণ্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য = 8 একক।