3x² + 3y² - 6x + 4y - 1 = 0 ও x² + y² + 4x - 6y - 1 = 0 দুইটি বৃত্তের সমীকরণ। 

দ্বিতীয় বৃত্ত দ্বারা y-অক্ষের খণ্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য কত?

Another Explanation (5):

প্রশ্নের সমাধান:

প্রথমে, দুইটি বৃত্তের সমীকরণ দেওয়া হলো: 1. \(3x^2 + 3y^2 - 6x + 4y - 1 = 0\) 2. \(x^2 + y^2 + 4x - 6y - 1 = 0\)

---

ধাপ 1: প্রথম বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয়

সমীকরণটি সাধারণত এই রূপে লেখব: \[ 3x^2 + 3y^2 - 6x + 4y - 1 = 0 \] প্রথমে, সমস্ত টার্মগুলোকে 3 দিয়ে ভাগ করি: \[ x^2 + y^2 - 2x + \frac{4}{3} y - \frac{1}{3} = 0 \] এখন, \(x\) এবং \(y\) এর জন্য সম্পূর্ণ বর্গ তৈরি করি। \(\text{for } x\): \[ x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 \] \(\text{for } y\): \[ y^2 + \frac{4}{3} y = \left( y + \frac{2}{3} \right)^2 - \frac{4}{9} \] সুতরাং, সমীকরণটি হয়: \[ (x - 1)^2 - 1 + \left( y + \frac{2}{3} \right)^2 - \frac{4}{9} - \frac{1}{3} = 0 \] সব যোগফল একপাশে রাখি: \[ (x - 1)^2 + \left( y + \frac{2}{3} \right)^2 = 1 + \frac{4}{9} + \frac{1}{3} \] \# \(\frac{1}{3} = \frac{3}{9}\) সুতরাং, \[ \text{RHS} = 1 + \frac{4}{9} + \frac{3}{9} = 1 + \frac{7}{9} = \frac{9}{9} + \frac{7}{9} = \frac{16}{9} \] অর্থাৎ, প্রথম বৃত্তের কেন্দ ও ব্যাসার্ধ: \[ \text{কেন্দ্র} \ (h_1, k_1) = (1, -\frac{2}{3}), \quad \text{ব্যাসার্ধ} \ R_1 = \sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{4}{3} \] ---

ধাপ 2: দ্বিতীয় বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয়

সমীকরণ: \[ x^2 + y^2 + 4x - 6y - 1 = 0 \] সম্পূর্ণ বর্গ তৈরি করি: \[ x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4 \] \[ y^2 - 6y = (y - 3)^2 - 9 \] প্রতিস্থাপন করি: \[ (x + 2)^2 - 4 + (y - 3)^2 - 9 - 1 = 0 \] সমাধান: \[ (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 4 + 9 + 1 = 14 \] অর্থাৎ, দ্বিতীয় বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ: \[ \text{কেন্দ্র} \ (h_2, k_2) = (-2, 3), \quad R_2 = \sqrt{14} \] ---

ধাপ 3: y-অক্ষের খণ্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য নির্ণয়

y-অক্ষের সমীকরণ হলো: \(x=0\) দ্বিতীয় বৃত্তের ওপর \(x=0\) রেখা রেখার জন্য সমীকরণ: \[ (0 + 2)^2 + (y - 3)^2 = 14 \] \[ 4 + (y - 3)^2 = 14 \] \[ (y - 3)^2 = 10 \] অতএব, \[ y - 3 = \pm \sqrt{10} \] যেমন: \[ y = 3 \pm \sqrt{10} \] এখানে, y-অক্ষের খণ্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য হলো: \[ \text{দৈর্ঘ্য} = (3 + \sqrt{10}) - (3 - \sqrt{10}) = 2\sqrt{10} \] ---

উত্তর:

\[ \boxed{2 \sqrt{10}} \]