(2,0) কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তটি y- অক্ষকে স্পর্শ করলে-

1. বৃত্তটি দ্বারা x-অক্ষ হতে ছেদকৃত অংশের দৈর্ঘ্য 4 একক  
2.  বৃত্তটির সমীকরণ x²+y²+4x=0
3.  বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = 2 একক

নিচের কোনটি সঠিক? 

Another Explanation (5):

প্রশ্নের বিশ্লেষণ ও সমাধান

প্রশ্নে উল্লেখ করা হয়েছে যে, কেন্দ্র (2, 0) বিশিষ্ট একটি বৃত্ত y-অক্ষকে স্পর্শ করে। এ থেকে বোঝা যায় যে, বৃত্তের কেন্দ্র (h, k) = (2, 0) এবং এটি y-অক্ষকে স্পর্শ করছে।

ধাপ ১: বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয়

ধরা যাক, বৃত্তের ব্যাসার্ধ \( r \)। বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ: \[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \] এখানে, \( h = 2 \), \( k = 0 \), সুতরাং: \[ (x - 2)^2 + y^2 = r^2 \]

ধাপ ২: y-অক্ষকে স্পর্শ করার শর্ত

যেহেতু বৃত্ত y-অক্ষকে স্পর্শ করে, তাহলে y-অক্ষের সমীকরণ \( x=0 \) এই রেখার সাথে বৃত্তের স্পর্শকতা নির্ণয় করতে হবে। বৃত্তের সমীকরণে \( x=0 \) বসালে: \[ (0 - 2)^2 + y^2 = r^2 \] \[ 4 + y^2 = r^2 \] এখানে, y-অক্ষের স্পর্শে বৃত্তের একমাত্র স্পর্শকেন্দ্র হবে y-অক্ষের উপর, অর্থাৎ y-অক্ষের উপর একমাত্র বিন্দু যেখানে বৃত্ত স্পর্শ করে। স্পর্শের জন্য, এই রেখার সাথে বৃত্তের সমন্বয় সমাধান একমাত্র হবে। সুতরাং, এই রেখার সাথে সমীকরণের সমাধান একমাত্র হবে, অর্থাৎ, ডিসক্রিমিন্যান্ট শূন্য: তাই, \[ (0 - 2)^2 + y^2 = r^2 \implies 4 + y^2 = r^2 \] এবং স্পর্শের জন্য, এই সমীকরণের জন্য: \[ \text{Discriminant} = 0 \] যদিও এখানে আমাদের বেশি দরকার নেই, কারণ, প্রমাণ করতে হবে যে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ \( r \) কত। সুতরাং, \[ r^2 = 4 + y^2 \] এখানে, স্পর্শবিন্দু যেখানে y-অক্ষের উপর অবস্থিত, সেটি হবে \( x=0 \), এবং \( y \)-এর মান নির্ণয় করতে হবে। অতএব, \[ (0 - 2)^2 + y^2 = r^2 \] \[ 4 + y^2 = r^2 \] যেহেতু, y-অক্ষের স্পর্শ হওয়ার জন্য, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে y-অক্ষের দূরত্ব \( r \) এর সমান। কেন্দ্রের x-মান 2, তাই দূরত্ব: \[ |2 - 0| = 2 \] অর্থাৎ, \( r = 2 \)

ধাপ ৩: বৃত্তের সমীকরণ ও ব্যাসার্ধ

অতএব, \[ r = 2 \] বৃত্তের সমীকরণ: \[ (x - 2)^2 + y^2 = 4 \] উত্তর অনুযায়ী, (ii) বিকল্পে দেওয়া হয়েছে: \[ x^2 + y^2 + 4x = 0 \] ইতিমধ্যে, আমাদের সমীকরণ: \[ (x - 2)^2 + y^2 = 4 \] বিস্তৃত করলে: \[ x^2 - 4x + 4 + y^2 = 4 \] \[ x^2 + y^2 - 4x + 4 = 4 \] \[ x^2 + y^2 - 4x = 0 \] এতেই দেখা যায় যে, এটি মূল সমীকরণের শর্তে মিল রয়েছে। অর্থাৎ, \[ x^2 + y^2 + 4x = 0 \] অথবা, \[ x^2 + y^2 - (-4x) = 0 \] যা ঠিক আমাদের পাওয়া সমীকরণের সাথে মিল আছে। **তাই, বিকল্প (ii) সঠিক নয়।**

ধাপ ৪: বৃত্তের ব্যাসার্ধ নির্ণয়

উপরের হিসাব অনুযায়ী, \[ r = 2 \] অর্থাৎ, (iii) বিকল্প: **"বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = 2 একক"** সঠিক।

ধাপ ৫: ছেদকৃত অংশের দৈর্ঘ্য নির্ণয়

প্রশ্নে বলা হয়েছে, y-অক্ষকে স্পর্শ করলে, x-অক্ষের সাথে ছেদকৃত অংশের দৈর্ঘ্য 4 একক। যেহেতু, ব??ত্তের ব্যাসার্ধ \( r = 2 \), এবং কেন্দ্র (2, 0), তাহলে x-অক্ষের উপর, যেখানে \( y=0 \), বৃত্তের সমীকরণ: \[ (x - 2)^2 + 0^2 = 4 \] \[ (x - 2)^2 = 4 \] \[ x - 2 = \pm 2 \] \[ x = 4 \quad \text{বা} \quad x=0 \] অর্থাৎ, x-অক্ষের সাথে ছেদ বিন্দুগুলি হলো (0,0) এবং (4,0)। অতএব, এই দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব: \[ |4 - 0| = 4 \] অর্থাৎ, x-অক্ষ দ্বারা ছেদকৃত অংশের দৈর্ঘ্য 4 একক। এটি বিকল্প (i) এর সাথে মিলে।

সারসংক্ষেপ:

- (i) সত্য, কারণ ছেদকটির দৈর্ঘ্য 4। - (ii) ভুল, কারণ সমীকরণটি আমাদের পাওয়া সমীকরণের সাথে মিলে না। - (iii) সত্য, কারণ ব্যাসার্ধ 2। অতএব, উপযুক্ত উত্তর হলো: **"i ও iii"**।

উত্তর: i & iii