2x² + 2y² + 4x - 2y + 4 = 0 বৃত্তের কেন্দ্র কোনটি?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( 2x^{2} + 2y^{2} + 4x - 2y + 4 = 0 \) বৃত্তের কেন্দ্র কোনটি? সমাধান: প্রথমে সমীকরণটি সাধারণ রূপে রূপান্তর করব। এটি হল: \[ 2x^{2} + 2y^{2} + 4x - 2y + 4 = 0 \] প্রতিটি টার্ম থেকে সাধারণ গুণক বের করি: \[ 2(x^{2} + 2x) + 2(y^{2} - y) + 4 = 0 \] এখন, এই সমীকরণটি দুই ভাগে ভাগ করে নেবো: \[ 2(x^{2} + 2x) + 2(y^{2} - y) = -4 \] প্রতিটি ভাগের জন্য পূর্ণবর্গ সম্পন্ন করব: 1. \(x^{2} + 2x\): \[ x^{2} + 2x = (x^{2} + 2x + 1) - 1 = (x + 1)^2 - 1 \] 2. \(y^{2} - y\): \[ y^{2} - y = (y^{2} - y + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} = (y - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} \] সমীকরণে এই মান বসানো: \[ 2[(x + 1)^2 - 1] + 2[(y - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}] = -4 \] বিন্যাস: \[ 2(x + 1)^2 - 2 + 2(y - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} = -4 \] সংক্ষেপে: \[ 2(x + 1)^2 + 2(y - \frac{1}{2})^2 - 2 - \frac{1}{2} = -4 \] উপজীবন: \[ 2(x + 1)^2 + 2(y - \frac{1}{2})^2 = -4 + 2 + \frac{1}{2} \] সাধারণ সমাধান: \[ 2(x + 1)^2 + 2(y - \frac{1}{2})^2 = -\frac{1}{2} \] দুটি সমানুপাতিক অংশে ভাগ করি: \[ (x + 1)^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = -\frac{1}{4} \] এটি একটি বৃত্তের সমীকরণ যার কেন্দ্র \((-1, \frac{1}{2})\) এবং ব্যাসার্ধ \(\sqrt{-\frac{1}{4}}\), যা বাস্তব ব্যাসার্ধ নয় কারণ এটি ঋণাত্মক। তবে, প্রশ্নে কেন্দ্রের জন্য চাহিদা থাকায় কেন্দ্রের স্থান হল \((-1, \frac{1}{2})\)। অতএব, বৃত্তের কেন্দ্র হল: (-1, \frac{1}{2})