\( x^2+y^2-6x=0 \) এবং \( x^2+y^2-8y=0 \) বৃত্তদ্বয়ের কেন্দ্র দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব-

সমাধান:

প্রথম বৃত্তের সমীকরণ:

\[ x^{2} + y^{2} - 6x = 0 \]

দ্বিতীয় বৃত্তের সমীকরণ:

\[ x^{2} + y^{2} - 8y = 0 \]

প্রথম বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয়:

প্রথম সমীকরণটি রূপান্তর করি সম্পূর্ণ বর্গের রূপে:

\[ x^{2} - 6x + y^{2} = 0 \]

এখানে, \[ x^{2} - 6x = (x - 3)^{2} - 9 \]

অতএব, সমীকরণ হয়:

\[ (x - 3)^{2} + y^{2} = 9 \]

অর্থাৎ, প্রথম বৃত্তের কেন্দ্র \[ (3, 0) \] এবং ব্যাসার্ধ \[ r_{1} = 3 \]।

দ্বিতীয় বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয়:

সমীকরণটি রূপান্তর করি সম্পূর্ণ বর্গের রূপে:

\[ x^{2} + y^{2} - 8y = 0 \]

এখানে, \[ y^{2} - 8y = (y - 4)^{2} - 16 \]

অতএব, সমীকরণ হয়:

\[ x^{2} + (y - 4)^{2} = 16 \]

অর্থাৎ, দ্বিতীয় বৃত্তের কেন্দ্র \[ (0, 4) \] এবং ব্যাসার্ধ \[ r_{2} = 4 \]।

দুটি কেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয়:

কেন্দ্র দুটির মধ্যে দূরত্ব \[ d \] হবে:

\[ d = \sqrt{(x_{1} - x_{2})^{2} + (y_{1} - y_{2})^{2}} \]

এখানে, \[ (x_{1}, y_{1}) = (3, 0) \] এবং \[ (x_{2}, y_{2}) = (0, 4) \]

অতএব,

\[ d = \sqrt{(3 - 0)^{2} + (0 - 4)^{2}} = \sqrt{3^{2} + (-4)^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

উপসংহার:

দুটি বৃত্তের কেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(\boxed{5}\)।