2x² + 2y² + 12x - 20y - 1 = 0 একটি বৃত্তের সমীকরণ।

বৃত্ত দ্বারা y-অক্ষের খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য কত একক ?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(2x^2 + 2y^2 + 12x - 20y - 1 = 0\) এই সমীকরণটি একটি বৃত্তের সমীকরণ। বৃত্ত দ্বারা \(y\)-অক্ষের খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য কত? সমাধান: প্রথমে সমীকরণটি সাধারণ রূপে আনব: \(2x^2 + 2y^2 + 12x - 20y - 1 = 0\) দুটি সাধারণ গুণনীয়ক দ্বারা ভাগ করি: \[ x^2 + y^2 + 6x - 10y - \frac{1}{2} = 0 \] এখন, বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় করতে, সমীকরণটি সম্পূর্ণ বর্গের রূপে রূপান্তর করি: \[ x^2 + 6x + y^2 - 10y = \frac{1}{2} \] সম্পূর্ণ বর্গের জন্য: \[ x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9 \] \[ y^2 - 10y = (y - 5)^2 - 25 \] অতএব, \[ (x + 3)^2 - 9 + (y - 5)^2 - 25 = \frac{1}{2} \] সংক্ষেপে, \[ (x + 3)^2 + (y - 5)^2 = \frac{1}{2} + 9 + 25 \] \[ (x + 3)^2 + (y - 5)^2 = \frac{1}{2} + 34 = \frac{1}{2} + \frac{68}{2} = \frac{69}{2} \] অতএব, বৃত্তের কেন্দ্র \(C(-3, 5)\) এবং ব্যাসার্ধ: \[ r = \sqrt{\frac{69}{2}} = \frac{\sqrt{69}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{138}}{2} \] এখন, আমরা জানি যে, বৃত্তের \(y\)-অক্ষের খন্ডিতাংশটি হলো সেই অংশ যা \(x=0\) বিন্দুতে অবস্থিত। \(x=0\) বসালে, বৃত্তের সমীকরণ হবে: \[ (0 + 3)^2 + (y - 5)^2 = \frac{69}{2} \] \[ 9 + (y - 5)^2 = \frac{69}{2} \] \[ (y - 5)^2 = \frac{69}{2} - 9 = \frac{69}{2} - \frac{18}{2} = \frac{51}{2} \] \[ y - 5 = \pm \sqrt{\frac{51}{2}} = \pm \frac{\sqrt{102}}{2} \] অর্থাৎ, \(y\)-অক্ষের খন্ডিতাংশের দুটি বিন্দু: \[ (0, 5 + \frac{\sqrt{102}}{2}) \quad \text{এবং} \quad (0, 5 - \frac{\sqrt{102}}{2}) \] দৈর্ঘ্য: \[ \left| \left(5 + \frac{\sqrt{102}}{2}\right) - \left(5 - \frac{\sqrt{102}}{2}\right) \right| = \frac{\sqrt{102}}{2} + \frac{\sqrt{102}}{2} = \sqrt{102} \] **উত্তর: \(\boxed{\sqrt{102}}\)**